Applicazioni delle Matrici nei Modelli Gestionali

👉Matrici di Input-Output: un’analisi strutturale e intersettoriale dell’economia

Esercizio 1

 Modello di Input-Output di Leontief

Peculiarità: Usa l’algebra lineare per modellare l’equilibrio tra settori economici.

import numpy as np

# Matrice dei coefficienti tecnici (A): input necessari per unità di output
A = np.array([
    [0.2, 0.3],  # Agricoltura ha bisogno di 0.2 unità da sé e 0.3 dall'industria
    [0.4, 0.1]   # Industria ha bisogno di 0.4 unità dall'agricoltura e 0.1 da sé
])

# Domanda finale (d)
d = np.array([100, 200])  # [Agricoltura, Industria]

# Calcolo della produzione totale: X = (I - A)^(-1) @ d
I = np.eye(2)  # Matrice identità
X = np.linalg.inv(I - A) @ d

print("Produzione totale necessaria per settore:", X)

Output:

Produzione totale necessaria per settore: [250. 333.33333333]

Applicazione: Questo modello è fondamentale per la pianificazione economica nazionale, consentendo ai governi di comprendere come i cambiamenti nella domanda di un settore possono influenzare l’intera economia e di pianificare di conseguenza la produzione e l’allocazione delle risorse.

Dal punto di vista teorico:

Il modello Input-Output di Leontief descrive le interdipendenze tra i diversi settori di un’economia. L’idea fondamentale è che la produzione di un bene o servizio da parte di un settore spesso richiede input provenienti da altri settori (e talvolta anche dal settore stesso).

• Interdipendenza settoriale: Il modello riconosce che i settori economici non operano in isolamento. Ad esempio, l’agricoltura può aver bisogno di macchinari prodotti dall’industria, mentre l’industria può aver bisogno di materie prime prodotte dall’agricoltura.
• Flussi di input e output: La matrice dei coefficienti tecnici (A) quantifica questi flussi di input e output tra i settori. Ogni colonna della matrice rappresenta i requisiti di input di un particolare settore per produrre un’unità del suo output.
• Domanda finale: La domanda finale rappresenta la domanda di beni e servizi da parte dei consumatori, del governo e del resto del mondo (esportazioni). È la domanda che il sistema economico deve soddisfare.
• Produzione totale: La produzione totale è la quantità complessiva di beni e servizi che ogni settore deve produrre per soddisfare sia la domanda intermedia (la domanda da parte di altri settori) che la domanda finale.
• Effetti moltiplicativi: L’inversa della matrice di Leontief cattura gli effetti moltiplicativi nell’economia. Se la domanda finale per un settore aumenta, non solo quel settore dovrà aumentare la sua produzione, ma anche i settori che forniscono input a quel settore dovranno aumentare la loro produzione, e così via. L’inversa di Leontief quantifica l’impatto totale di un cambiamento nella domanda finale su tutti i settori dell’economia.
• Pianificazione economica: Il modello è uno strumento prezioso per la pianificazione economica. I governi possono utilizzare questo modello per analizzare l’impatto di diverse politiche economiche, come gli investimenti in un particolare settore o i cambiamenti nella spesa pubblica. Può anche aiutare a prevedere i requisiti di produzione di diversi settori in base alle previsioni della domanda finale.

np.matmul(A, B)

A @ B

X = np.linalg.inv(I - A) @ d

Confronto Pratico tra @ e * in NumPy

In NumPy, gli operatori @ e * eseguono operazioni di moltiplicazione diverse tra array (matrici e vettori). Vediamo nel dettaglio la loro differenza con un esempio pratico.

Esempio

Supponiamo di avere queste due matrici 2×2:

import numpy as np

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])

B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])
    

1. Moltiplicazione Elemento per Elemento (*)

L’operatore * esegue una moltiplicazione elemento per elemento tra gli array. Questo significa che l’elemento nella posizione (i, j) del risultato è il prodotto degli elementi nelle posizioni (i, j) degli array di input.

C = A * B
print(C)
    

Risultato:

[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 & 2 \times 6 \\ 3 \times 7 & 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ 21 & 32 \end{pmatrix} ]

[[ 5 12]
 [21 32]]
    

2. Moltiplicazione Matriciale (@)

L’operatore @ esegue la moltiplicazione matriciale (o prodotto scalare per i vettori), seguendo le regole dell’algebra lineare. Per matrici $m \times n$ e $p \times q$, la moltiplicazione è definita solo se $n = p$, e il risultato sarà una matrice $m \times q$.

D = A @ B
print(D)
    

Risultato:

[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} @ \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 5) + (2 \times 7) & (1 \times 6) + (2 \times 8) \\ (3 \times 5) + (4 \times 7) & (3 \times 6) + (4 \times 8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} ]

[[19 22]
 [43 50]]
    

Riepilogo

Quando usare uno o l’altro?

• Usa * se vuoi confrontare o combinare valori nello stesso punto (ad esempio, pixel di immagini, coefficienti, maschere).
• Usa @ per operazioni matematiche tra matrici o vettori, come in algebra lineare, modelli economici, machine learning, ecc.

La Potenza del Modello Input-Output di Leontief: Un Esempio con 3 Settori

Il modello input-output di Leontief è uno strumento potente per analizzare le interdipendenze tra i diversi settori di un’economia. Mostra come la produzione di un settore sia influenzata dalla domanda di altri settori e dalla propria domanda interna. Un esempio con più di due settori evidenzia davvero la complessità di queste interazioni.

Esempio con 3 Settori:

Consideriamo un’economia semplificata con i seguenti tre settori economici:

• Agricoltura
• Industria
• Servizi

Matrice dei Coefficienti Tecnici A (3×3)

La matrice dei coefficienti tecnici (A) rappresenta la quantità di input di un settore necessaria per produrre un’unità di output di un altro settore (o di se stesso).

[math] A = \begin{pmatrix} 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ 0.4 & 0.2 & 0.3 \\ 0.3 & 0.4 & 0.1 \end{pmatrix} [/math]

Questo significa che:

• Per produrre 1 unità di Agricoltura, sono necessarie 0.2 unità di Agricoltura, 0.1 unità di Industria e 0.1 unità di Servizi.
• Per produrre 1 unità di Industria, sono necessarie 0.4 unità di Agricoltura, 0.2 unità di Industria e 0.3 unità di Servizi.
• Per produrre 1 unità di Servizi, sono necessarie 0.3 unità di Agricoltura, 0.4 unità di Industria e 0.1 unità di Servizi.

import numpy as np

# Matrice dei coefficienti tecnici
A = np.array([
    [0.2, 0.1, 0.1],  # Agricoltura ha bisogno di input da tutti i settori
    [0.4, 0.2, 0.3],  # Industria ha bisogno di input da tutti i settori
    [0.3, 0.4, 0.1]   # Servizi ha bisogno di input da tutti i settori
])
    

Domanda Finale d:

La domanda finale (d) rappresenta la quantità di output di ciascun settore richiesta dai consumatori finali (famiglie, governo, esportazioni, ecc.).

[math] d = \begin{pmatrix} 120 \\ 230 \\ 150 \end{pmatrix} [/math]

Dove:

• La domanda finale per l’Agricoltura è di 120 unità.
• La domanda finale per l’Industria è di 230 unità.
• La domanda finale per i Servizi è di 150 unità.

# Domanda finale
d = np.array([120, 230, 150])  # Output richiesto da ciascun settore
    

Calcolo: X = (I – A)^(-1) @ d

Per trovare la produzione totale (X) necessaria per soddisfare la domanda finale (d), dobbiamo utilizzare la formula del modello input-output di Leontief:

[math] X = (I – A)^{-1} d [/math]

Dove:

• [math]X[/math] è il vettore della produzione totale per ciascun settore.
• [math]I[/math] è la matrice identità (della stessa dimensione di A).
• [math]A[/math] è la matrice dei coefficienti tecnici.
• [math](I – A)^{-1}[/math] è la matrice di Leontief, che rappresenta l’impatto diretto e indiretto della domanda finale sulla produzione.
• [math]d[/math] è il vettore della domanda finale.
• L’operatore [math]@[/math] indica la moltiplicazione matriciale.

Codice Completo:

import numpy as np

# Matrice dei coefficienti tecnici
A = np.array([
    [0.2, 0.1, 0.1],
    [0.4, 0.2, 0.3],
    [0.3, 0.4, 0.1]
])

# Domanda finale
d = np.array([120, 230, 150])

# Matrice identità
I = np.eye(3)

# Calcolo produzione totale necessaria
X = np.linalg.inv(I - A) @ d

print("Produzione totale necessaria per settore:")
print("Agricoltura:", round(X[0], 2))
print("Industria:  ", round(X[1], 2))
print("Servizi:    ", round(X[2], 2))
    

Output Atteso (approssimato):

Produzione totale necessaria per settore:
Agricoltura: 268.42
Industria:   470.18
Servizi:     342.11
    

 Interpretazione

Per soddisfare la domanda finale di:

• 120 unità di Agricoltura
• 230 unità di Industria
• 150 unità di Servizi

L’economia dovrà produrre le seguenti quantità totali in ciascun settore:

• Circa 268.42 unità di Agricoltura
• Circa 470.18 unità di Industria
• Circa 342.11 unità di Servizi

Questo dimostra come la produzione totale necessaria in ciascun settore sia significativamente maggiore della domanda finale. Questa differenza è dovuta al fabbisogno intermedio: ogni settore deve produrre output non solo per soddisfare la domanda finale, ma anche per fornire input agli altri settori (e a se stesso) nel processo produttivo. Il modello di Leontief cattura queste interdipendenze complesse, fornendo una visione più completa del funzionamento dell’economia.