Permutazioni Circolari: Guida Pratica con 6 Esercizi Svolti (dal Base all’Avanzato)

Quante volte, organizzando una cena, ti sei chiesto quale sia la disposizione migliore per gli invitati? Oppure, guardando un braccialetto di perline, hai pensato a quante combinazioni diverse si potrebbero creare? Dietro a queste domande si nasconde un concetto matematico tanto elegante quanto potente: le permutazioni circolari.

A differenza delle file ordinate (le permutazioni lineari), dove esiste un inizio e una fine, in un cerchio conta solo la posizione relativa tra gli elementi. Ruotare tutti nella stessa direzione non crea una nuova disposizione, ed è proprio questa la chiave.

Questo articolo non è una semplice lezione. È un percorso di allenamento mentale attraverso 6 esercizi originali e progressivi. Inizieremo con scenari semplici per prendere confidenza con la logica di base e, passo dopo passo, introdurremo vincoli, simmetrie e sfide che ti porteranno a padroneggiare anche i problemi più complessi.

Allaccia le cinture, si parte.

Esercizio 1 (Facile) – Il Cerchio Magico degli Stregoni

Testo:

Quattro stregoni, Merlino, Morgana, Gandalf e Silente, devono sedersi attorno a un antico cerchio di pietra per canalizzare le loro energie. In quanti modi diversi possono disporsi attorno al cerchio?

Risoluzione:

1. Identificare il Tipo di Problema: Dobbiamo disporre 4 elementi distinti in cerchio. L’ordine è importante, ma le rotazioni sono considerate equivalenti. Questa è una permutazione circolare semplice.
2. Richiamo Teorico: La formula per le permutazioni circolari di [math]n[/math] elementi distinti è:
   [math]PC(n)=(n-1)![/math]Il motivo è che fissiamo la posizione di un elemento (ad esempio Merlino) per “rompere” le rotazioni equivalenti. Il problema si riduce così a una permutazione lineare degli altri [math](n-1)[/math] elementi.
3. Applicazione della Formula: Abbiamo [math]n=4[/math] stregoni.
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   PC(4) &= (4-1)! \\
   &= 3! \\
   &= 3 \times 2 \times 1 \\
   &= 6
   \end{aligned}[/math]
4. Conclusione: Gli stregoni possono disporsi in 6 modi diversi.

💡 Osservazione: Nelle permutazioni circolari, ciò che conta è chi hai alla tua destra e alla tua sinistra, non il punto cardinale in cui ti trovi.

Domanda di Riflessione:

Se un quinto stregone, Albus, si unisse al cerchio, quanti modi diversi ci sarebbero?

Risposta:
[math]\displaystyle \begin{aligned}
PC(5) &= (5-1)! \\
&= 4! \\
&= 24
\end{aligned}[/math]

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Esercizio 2 (Facile/Intermedio) – La Tavola Rotonda dei Cavalieri

Testo:

Re Artù deve far sedere 7 cavalieri (compreso sé stesso) alla Tavola Rotonda. Tuttavia, Sir Lancillotto e Sir Galvano, dopo un recente duello, si rifiutano di sedersi uno accanto all’altro. In quanti modi diversi possono essere disposti i cavalieri?

Risoluzione:

1. Strategia: Usiamo il Principio di Inclusione-Esclusione. Calcoliamo prima il totale delle disposizioni senza vincoli e poi sottraiamo i casi “indesiderati” (quelli in cui Lancillotto e Galvano sono vicini).
2. Totale senza Restrizioni: Ci sono 7 cavalieri in cerchio.
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   \text{Totale} &= PC(7) \\
   &= (7-1)! \\
   &= 6! \\
   &= 720
   \end{aligned}[/math]
3. Casi “Indesiderati” (L e G vicini): Per contare le disposizioni in cui due elementi sono sempre insieme, li trattiamo come un blocco unico.
   • Il “blocco” (Lancillotto-Galvano) + gli altri 5 cavalieri formano 6 “oggetti” da disporre in cerchio:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Disposizioni del Blocco} &= PC(6) \\
     &= (6-1)! \\
     &= 5! \\
     &= 120
     \end{aligned}[/math]
   • All’interno del blocco, Lancillotto e Galvano possono scambiarsi posto in 2 modi: (L,G) o (G,L).
   • Casi totali indesiderati:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     120 \times 2 &= 240
     \end{aligned}[/math]
4. Calcolo Finale:
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   \text{Modi Validi} &= \text{Totale} – \text{Casi Indesiderati} \\
   &= 720 – 240 \\
   &= 480
   \end{aligned}[/math]
5. Conclusione: Ci sono 480 modi per disporre i cavalieri in modo che Lancillotto e Galvano non siano vicini.

💡 Strategia: Quando un problema vieta una certa adiacenza, spesso la via più rapida è calcolare il totale e sottrarre i casi in cui quell’adiacenza è forzata.

Domanda di Riflessione:

Se Re Artù volesse sedere obbligatoriamente tra Lancillotto e Galvano per fare da paciere, quanti modi ci sarebbero?

Risposta: Trattiamo il blocco (L-Artù-G) come un’unica entità. All’interno del blocco, L e G possono scambiarsi in 2 modi. Questo blocco e gli altri 4 cavalieri formano 5 “oggetti” da disporre in cerchio: [math]PC(5)=4!=24[/math]. Quindi,
[math]24 \times 2 = 48[/math] modi.

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Esercizio 3 (Intermedio) – La Collana della Regina

Testo:

Un gioielliere deve creare una collana per la regina disponendo 5 gemme distinte: Rubino, Smeraldo, Topazio, Ametista e Diamante. La collana può essere capovolta. In quanti modi diversi può essere assemblata?

Risoluzione:

1. Identificare il Tipo di Problema: Questo problema aggiunge una nuova simmetria: la riflessione. Una collana, a differenza delle persone sedute a un tavolo, appare uguale anche se la guardiamo dal retro (capovolgendola).
2. Richiamo Teorico: La formula per le disposizioni circolari di [math]n[/math] oggetti distinti quando rotazioni e riflessioni sono equivalenti è:
   [math]P_{\text{Collana}}(n) = \frac{(n-1)!}{2}[/math](valida per [math]n>2[/math])Dividiamo per 2 perché ogni disposizione oraria ha una corrispondente disposizione antioraria che, per riflessione, è identica.
3. Applicazione della Formula: Abbiamo [math]n=5[/math] gemme.
   [math]\displaystyle \begin{aligned}
   P_{\text{Collana}}(5) &= \frac{(5-1)!}{2} \\
   &= \frac{4!}{2} \\
   &= \frac{24}{2} \\
   &= 12
   \end{aligned}[/math]
4. Conclusione: Il gioielliere può creare 12 collane diverse.

💡 Distinzione Cruciale: Chiediti sempre: “La disposizione è la stessa se la capovolgo?”.

• NO (es. persone a un tavolo): usa [math](n-1)![/math].
• SÌ (es. collana, braccialetto, portachiavi): usa [math]\frac{(n-1)!}{2}[/math].

Domanda di Riflessione:

Perché la formula non si applica per [math]n=2[/math]?

Risposta: Con 2 gemme (A, B) esiste una sola disposizione circolare. La disposizione A-B, se capovolta, è sempre A-B. Non ci sono coppie di disposizioni speculari da dimezzare.

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Esercizio 4 (Intermedio/Avanzato) – Il Consiglio di Famiglia

Testo:

Una famiglia di 10 persone (2 nonni, 4 genitori, 4 figli) deve sedersi attorno a un tavolo rotondo. I 2 nonni devono sedersi uno di fronte all’altro e nessun figlio può sedersi accanto a un altro figlio. In quanti modi si può fare?

Risoluzione:

1. Strategia: Affrontiamo i vincoli in ordine di rigidità, partendo dai nonni e usando il metodo degli “spazi”.
2. Posizionare i Nonni e Rompere la Circolarità:
   • Fissiamo il posto del Nonno 1. Questo funge da punto di riferimento e annulla la natura circolare del problema. Ci sono 9 posti rimanenti.
   • Il Nonno 2 deve sedersi di fronte, quindi la sua posizione è obbligata (c’è un solo posto opposto).
3. Posizionare i Genitori e i Figli:
   • Restano 8 posti liberi da riempire con 4 genitori (G) e 4 figli (F).
   • Il vincolo “nessun figlio accanto a un altro figlio” implica che i figli devono essere separati. Poiché abbiamo esattamente 4 genitori, l’unica disposizione possibile negli 8 posti è un’alternanza G-F-G-F….
   • Per prima cosa, collochiamo i 4 genitori negli 4 “spazi” disponibili per loro. Ci sono [math]4![/math] modi per farlo.
   • Ora, nei 4 spazi rimanenti (quelli tra i genitori), collochiamo i 4 figli. Ci sono [math]4![/math] modi anche per questo.
4. Calcolo Finale:Il numero totale di modi è il prodotto delle permutazioni dei genitori e dei figli.[math]\displaystyle \begin{aligned}
   \text{Modi Totali} &= (\text{Permutazioni Genitori}) \times (\text{Permutazioni Figli}) \\
   \text{Modi Totali} &= 4! \times 4! \\
   &= 24 \times 24 \\
   &= 576
   \end{aligned}[/math]
5. Conclusione: Ci sono 576 modi per disporre la famiglia secondo le regole.

Domanda di Riflessione:

E se i 4 genitori fossero indistinguibili tra loro e i 4 figli fossero indistinguibili tra loro?

Risposta: Fissati i nonni, c’è 1 solo modo per disporre i genitori (G-G-G-G) e 1 solo modo per disporre i figli (F-F-F-F). Il risultato sarebbe 1.

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Esercizio 5 (Avanzato) – Il Torneo a Girone all’Italiana

Testo:

In un torneo, 6 squadre (A, B, C, D, E, F) si affrontano in un girone. Tutte le partite di una giornata si svolgono contemporaneamente. In quanti modi diversi si può stilare il calendario (l’ordine delle giornate), sapendo che due calendari sono uguali se l’ordine delle giornate è semplicemente una rotazione dell’altro?

Risoluzione:

1. Interpretazione: Questo è un problema a due livelli: prima dobbiamo capire come si struttura una singola giornata (accoppiamenti) e poi come si mettono in sequenza circolare le giornate.
2. Durata del Torneo (Numero di Giornate):
   • Numero totale di partite possibili:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \binom{6}{2} &= \frac{6 \times 5}{2} \\
     &= 15
     \end{aligned}[/math]
   • Partite per giornata (6 squadre formano 3 coppie): 3.
   • Numero di giornate:
     [math]\frac{15}{3} = 5[/math] giornate.
3. Costruire il Calendario (Sequenza Lineare): Questo è un problema complesso noto come 1-fattorizzazione del grafo completo [math]K_6[/math].
   • Si può dimostrare matematicamente che esistono 6 modi per raggruppare le 15 partite in 5 giornate distinte (questo valore è un risultato noto della teoria dei grafi).
   • Per ognuno di questi 6 calendari-base, le 5 giornate possono essere ordinate in [math]5![/math] modi.
   • Calendari Lineari Totali = (Numero 1-fattorizzazioni) [math]\times[/math] (Permutazioni Giornate)
   • [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Calendari Lineari} &= 6 \times 5! \\
     &= 6 \times 120 \\
     &= 720
     \end{aligned}[/math]
4. Applicare la Permutazione Circolare alle Giornate:
   • Il problema chiede di considerare equivalenti i calendari che sono rotazioni l’uno dell’altro. Abbiamo 5 giornate (i nostri “[math]n[/math] elementi”) da disporre in cerchio.
   • Applichiamo la formula [math]PC(n)=(n-1)![/math] al risultato precedente. In pratica, dividiamo il numero di calendari lineari per il numero di giornate ([math]n=5[/math]).
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Calendari Circolari} &= \frac{\text{Calendari Lineari}}{5} \\
     &= \frac{720}{5} \\
     &= 144
     \end{aligned}[/math]
   • Questo è equivalente a:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     6 \times (5-1)! &= 6 \times 4! \\
     &= 6 \times 24 \\
     &= 144
     \end{aligned}[/math]
5. Conclusione: Si può stilare il calendario in 144 modi diversi.

Domanda di Riflessione:

Se le giornate fossero giocate su 5 campi, ciascuno dedicato a una specifica giornata (Campo 1 per Giornata 1, ecc.), la disposizione sarebbe ancora circolare?

Risposta: No. Se i “posti” (i campi) sono etichettati e distinguibili, il problema diventa una permutazione lineare. La risposta sarebbe 720.

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Esercizio 6 (Avanzato) – Il Codice del Cilindro Antico

Testo:

Un archeologo scopre un lucchetto a cilindro con 8 scanalature equidistanti, riempibili con perline di 3 colori (Rosso, Verde, Blu). Il lucchetto si apre solo con la giusta sequenza circolare. Il cilindro può essere ruotato e anche capovolto (la lettura è simmetrica). Quanti codici segreti distinti esistono?

Risoluzione Approfondita:

1. Comprensione del Problema: Questo è un problema di conteggio con doppie simmetrie: rotazioni (gruppo ciclico [math]C_8[/math]) e riflessioni. L’insieme di queste [math]8+8=16[/math] trasformazioni forma il gruppo diedrale [math]D_8[/math]. Dobbiamo contare le configurazioni non equivalenti sotto l’azione di questo gruppo.
2. Il Lemma di Burnside: Lo strumento perfetto per questo è il Lemma di Burnside:
   [math]N = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} |Fix(g)|[/math]Dove [math]N[/math] è il numero di configurazioni distinte, [math]|G|[/math] è il numero di simmetrie (16), e [math]|Fix(g)|[/math] è il numero di configurazioni che rimangono invariate per una data simmetria [math]g[/math].
3. Analisi delle Rotazioni (8 elementi)
   • Rotazione di [math]0^\circ[/math] (identità): Lascia invariate tutte le [math]3^8[/math] configurazioni.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 1 \times 3^8 &= 6561
     \end{aligned}[/math]
   • Rotazioni di [math]45^\circ, 135^\circ, 225^\circ, 315^\circ[/math] (4 rotazioni): Queste uniscono tutte le 8 posizioni in un unico ciclo. Per rimanere invariate, tutte le perline devono avere lo stesso colore.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 4 \times 3^1 &= 12
     \end{aligned}[/math]
   • Rotazioni di [math]90^\circ, 270^\circ[/math] (2 rotazioni): Creano 2 cicli da 4 posizioni. Servono 2 scelte di colore indipendenti.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 2 \times 3^2 &= 18
     \end{aligned}[/math]
   • Rotazione di [math]180^\circ[/math] (1 rotazione): Crea 4 cicli da 2 posizioni (coppie opposte). Servono 4 scelte di colore.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 1 \times 3^4 &= 81
     \end{aligned}[/math]
   • Somma per le Rotazioni:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     6561 + 12 + 18 + 81 &= 6672
     \end{aligned}[/math]
4. Analisi delle Riflessioni (8 elementi)
   • Riflessioni su assi per vertici opposti (4 assi): Fissano 2 perline e scambiano le altre a coppie, creando [math]1+1+3=5[/math] cicli.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 4 \times 3^5 &= 4 \times 243 \\
     &= 972
     \end{aligned}[/math]
   • Riflessioni su assi per punti medi di lati opposti (4 assi): Non fissano nessuna perlina e creano 4 cicli di coppie.
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     \text{Contributo}: 4 \times 3^4 &= 4 \times 81 \\
     &= 324
     \end{aligned}[/math]
   • Somma per le Riflessioni:
     [math]972 + 324 = 1296[/math]
5. Calcolo Finale:
   • Somma Totale dei Fissati:
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     6672 (\text{rotazioni}) + 1296 (\text{riflessioni}) &= 7968
     \end{aligned}[/math]
   • Numero di Codici Distinti ([math]N[/math]):
     [math]\displaystyle \begin{aligned}
     N &= \frac{7968}{16} \\
     &= 498
     \end{aligned}[/math]
6. Conclusione:Il lucchetto antico ammette 498 codici segreti distinti.

💡 Punto Chiave: Il Lemma di Burnside è uno strumento potentissimo che trasforma un problema di conteggio apparentemente intrattabile in una somma metodica di casi più semplici, analizzando la struttura ciclica di ogni simmetria.