Costruire una matrice di Leslie come processo di traduzione

Costruire una matrice di Leslie è un processo di traduzione: prendiamo i dati osservati sul campo (o nel database) e li disponiamo in una griglia che descrive il “flusso” della vita.

Immaginiamo di partire da una tabella che riassume il censimento di una popolazione (o l’analisi di una coorte di clienti). Ecco i passaggi pratici.

1. La Tabella dei Dati Grezzi

Per costruire la matrice, abbiamo bisogno di tre colonne fondamentali per ogni classe d’età:

• Classe d’Età (i)
• Popolazione Iniziale (n_i)
• Tasso di Fertilità (f_i)
• Tasso di Sopravvivenza (s_i)

2. Disporre i valori nella Matrice L

Una matrice di Leslie è sempre una matrice quadrata [math]n \times n[/math],
dove
[math]n[/math] è il numero di classi d’età.

Seguendo l’esempio sopra (3 classi), avremo una matrice [math]3 \times 3[/math].

La Prima Riga: La Fabbrica dei Nuovi Nati

La prima riga raccoglie tutti i tassi di fertilità [math]f_1, f_2, f_3[/math].
Rappresenta il contributo di ogni classe alla creazione della classe “0”.

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
L &=
\begin{bmatrix}
\mathbf{f_1} & \mathbf{f_2} & \mathbf{f_3} \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\\[6pt]
&\rightarrow
\begin{bmatrix}
\mathbf{0.0} & \mathbf{2.0} & \mathbf{1.5} \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
[/math]

La Sottodiagonale: Il Passaggio di Tempo

I tassi di sopravvivenza [math]s_i[/math] non vanno sulla diagonale principale, ma in quella subito sotto.

Questo perché descrivono il movimento degli individui che “invecchiano” passando dalla classe
[math]i[/math] alla classe [math]i+1[/math].

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
L &=
\begin{bmatrix}
0.0 & 2.0 & 1.5 \\
\mathbf{s_1} & 0 & 0 \\
0 & \mathbf{s_2} & 0
\end{bmatrix}
\\[6pt]
&\rightarrow
\begin{bmatrix}
0.0 & 2.0 & 1.5 \\
\mathbf{0.5} & 0 & 0 \\
0 & \mathbf{0.3} & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
[/math]

3. Implementazione veloce in Python

Se hai molti dati, non scriverai la matrice a mano. Puoi automatizzarla così:

import numpy as np

# Dati estratti dalla tabella
fertilita = [0.0, 2.0, 1.5]
sopravvivenza = [0.5, 0.3] # Nota: è un elemento in meno rispetto alle classi

# Creiamo una matrice di zeri
n_classi = len(fertilita)
L = np.zeros((n_classi, n_classi))

# Riempiamo la prima riga
L[0, :] = fertilita

# Riempiamo la sottodiagonale
# np.diag(v, k) crea una matrice con il vettore v nella diagonale k
L += np.diag(sopravvivenza, k=-1)

print("Matrice di Leslie generata:")
print(L)

Matrice di Leslie generata:
[[0.  2.  1.5]
 [0.5 0.  0. ]
 [0.  0.3 0. ]]

Un dettaglio fondamentale: la durata del periodo

Un errore comune è mescolare i tempi.

Se le classi d’età sono divise in “fasi di 1 anno”, allora anche la proiezione della matrice deve avanzare di 1 anno alla volta.

Se decidi di usare classi di 6 mesi, tutti i tassi (fertilità e sopravvivenza) devono essere ricalcolati su base semestrale.

Cosa succede se un individuo resta nella stessa classe?

Nel modello di Leslie standard, si assume che tutti passino alla classe successiva o muoiano.

Se invece stai modellando qualcosa dove si può “restare” nella stessa classe (come un cliente che rimane “Silver” per più mesi), allora i valori di sopravvivenza andranno anche sulla diagonale principale.

In quel caso, tecnicamente, staresti costruendo una Matrice di Lefkovitch.

Cosa succederebbe a questa popolazione tra 5 anni partendo da un gruppo di 100 neonati?

Questa è una simulazione affascinante perché mostra come una popolazione partendo da un’unica classe d’età non cresca in modo lineare, ma proceda a “ondate”.

Utilizzando la matrice che abbiamo costruito:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
L &=
\begin{bmatrix}
0.0 & 2.0 & 1.5 \\
0.5 & 0 & 0 \\
0 & 0.3 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
[/math]

E il vettore iniziale:

[math]n_0 = [100, 0, 0][/math]
(100 neonati, zero adulti, zero anziani).

Ecco l’evoluzione anno dopo anno

Cronaca di 5 anni

Anno 0: [math][100, 0, 0][/math] (Popolazione totale: 100)

Abbiamo solo i 100 neonati.

Anno 1: [math][0, 50, 0][/math] (Popolazione totale: 50)

Cosa è successo? I neonati non si riproducono (fertilità 0). Metà sono morti e l’altra metà (50) è passata alla classe 1-2 anni. La popolazione si è dimezzata.

Anno 2: [math][100, 0, 15][/math] (Popolazione totale: 115)

Cosa è successo? I 50 individui della classe 1-2 anni hanno prodotto 2 nuovi nati ciascuno
[math]50 \times 2 = 100[/math].
Inoltre, il 30% dei 50 è sopravvissuto diventando anziano
[math]50 \times 0.3 = 15[/math].
Boom demografico!

Anno 3: [math][22.5, 50, 0][/math] (Popolazione totale: 72.5)

Cosa è successo? I 15 anziani hanno prodotto dei nati
[math]15 \times 1.5 = 22.5[/math],
mentre i 100 nati dell’anno precedente sono diventati giovani adulti
[math]100 \times 0.5 = 50[/math].

Anno 4: [math][100, 11.25, 15][/math] (Popolazione totale: 126.25)

I 50 adulti producono 100 nuovi nati. La popolazione torna a salire.

Anno 5: [math][45, 50, 3.375][/math] (Popolazione totale: 98.375)

Analisi dei risultati: Cosa abbiamo imparato?

L’effetto “Eco” (Onde Demografiche)

Noterai che la popolazione totale fa un’altalena:

100 → 50 → 115 → 72 → 126 → 98

Questo accade perché abbiamo iniziato con una popolazione sbilanciata (solo neonati).
In biologia, questo spiega perché dopo un evento catastrofico che uccide solo alcune classi d’età, la ripresa non è mai fluida.

Il Tasso di Crescita Reale R₀

Se guardiamo alla vita di un singolo individuo nato oggi:

• Ha il 50% di probabilità di arrivare a fare 2 figli
  (contributo medio: [math]0.5 \times 2 = 1[/math]).
• Ha il 15%
  ([math]0.5 \times 0.3[/math])
  di probabilità di arrivare a fare 1.5 figli da anziano
  (contributo medio: [math]0.15 \times 1.5 = 0.225[/math]).

In totale, un neonato produce in media 1.225 figli nella sua vita.

Poiché questo numero è maggiore di 1, sappiamo con certezza che la popolazione crescerà all’infinito a lungo termine, nonostante le oscillazioni iniziali.

Verso la Stabilità

Se continuassimo la simulazione per 20 o 30 anni, le oscillazioni diventerebbero sempre più piccole.

La popolazione smetterebbe di fare “salti” e inizierebbe a crescere a un tasso costante, mantenendo una proporzione fissa tra giovani, adulti e anziani (l’autovettore dominante).

Il codice per verificarlo

Se vuoi farlo girare sul tuo computer per vedere i decimali esatti:

import numpy as np

L = np.array([[0.0, 2.0, 1.5],
              [0.5, 0.0, 0.0],
              [0.0, 0.3, 0.0]])

n = np.array([100, 0, 0])

for anno in range(1, 6):
    n = L @ n
    print(f"Anno {anno}: {n} | Totale: {n.sum():.2f}")

Anno 1: [ 0. 50.  0.] | Totale: 50.00
Anno 2: [100.   0.  15.] | Totale: 115.00
Anno 3: [22.5 50.   0. ] | Totale: 72.50
Anno 4: [100.    11.25  15.  ] | Totale: 126.25
Anno 5: [45.    50.     3.375] | Totale: 98.38

Curiosità critica

Se questa fosse un’azienda, l’Anno 1 sarebbe il momento del “panico”:
il budget di marketing (neonati) è finito e nessuno sta ancora portando nuovi clienti.

È il classico periodo di latenza di ogni investimento strutturale.

Come cambierebbe il destino della popolazione aumentando la sopravvivenza dei piccoli?

Vediamo l’effetto di questo piccolo cambiamento.
In biologia e nel business, questo si chiama “effetto leva”:
un miglioramento marginale in una fase critica si riflette in modo esponenziale sulla crescita totale.

Scenario B: Aumentiamo la sopravvivenza del 10%

Il tasso di sopravvivenza originale dei neonati era 0.5 (50%).
Aumentarlo del 10% significa portarlo a 0.55 (55%).

La nuova matrice diventa:

[math]\displaystyle
\begin{aligned}
L_2 &=
\begin{bmatrix}
0.0 & 2.0 & 1.5 \\
\mathbf{0.55} & 0 & 0 \\
0 & 0.3 & 0
\end{bmatrix}
\end{aligned}
[/math]

Ecco cosa succede ai nostri 100 neonati

Analisi del Risultato: La Magia dell’Interesse Composto

In soli 5 anni, un aumento del 10% nella sopravvivenza iniziale ha generato una popolazione totale superiore del 25%.

Perché accade questo?

• Più riproduttori:
  Non abbiamo solo “più sopravvissuti”, ma più individui che entrano nella classe 1-2 anni, la più fertile.
• Ciclo di feedback positivo:
  Quei pochi individui extra producono a loro volta nuovi nati negli anni successivi, creando un effetto valanga.

Il Tasso di Crescita a Lungo Termine

Se calcoliamo l’autovalore dominante:

• Scenario A: [math]\lambda_1 \approx 1.07[/math]
• Scenario B: [math]\lambda_1 \approx 1.11[/math]

Potrebbe sembrare una differenza piccola, ma a 20 anni:

• Scenario A: circa 380 individui
• Scenario B: circa 780 individui

Il doppio della popolazione con solo un 5% di sopravvivenza in più.

Conclusione Applicativa

• In Ecologia:
  proteggere i nidi è spesso più efficace che aumentare la fertilità.
• Nel Marketing:
  aumentare la retention iniziale è più potente che acquisire nuovi clienti.