Coefficiente Binomiale: Definizione, Formula, Applicazioni Pratiche ed Esercizi Risolti

 

Introduzione al Coefficiente Binomiale

 

Il coefficiente binomiale, indicato come [math]\binom{n}{k}[/math] o “n su k”, rappresenta il numero di modi in cui si possono scegliere [math]k[/math] elementi da un insieme di [math]n[/math] elementi, senza considerare l’ordine. La formula per calcolarlo è:

[math]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]

dove [math]n![/math] (n fattoriale) è il prodotto di tutti i numeri interi positivi da 1 a [math]n[/math].

Dove si usa il coefficiente binomiale?

• Probabilità e Statistica: Calcolo delle combinazioni in problemi di probabilità (es: lotterie, giochi di carte).
• Algebra: Espansione del binomio di Newton [math](a+b)^n[/math].
• Informatica: Analisi di algoritmi combinatori.
• Economia e Finanza: Modelli di selezione di portafogli o analisi di rischio.
• Biologia: Studio delle combinazioni genetiche.

👉COEFFICIENTE BINOMIALE

Esercizi Risolti con Difficoltà Crescente

Esercizio 1 (Facile) – Scelta di una Squadra di Calcio

Scenario: Un allenatore deve scegliere 5 giocatori per i rigori da una rosa di 11. Quante combinazioni possibili esistono?

Soluzione:

Teoria: Stiamo scegliendo un sottoinsieme di 5 giocatori da un insieme di 11. L’ordine in cui i giocatori vengono scelti per i rigori non è specificato come rilevante (si assume che l’ordine nella lista dei 5 non conti come una combinazione diversa), quindi usiamo le combinazioni.

[math]\binom{11}{5} = \frac{11!}{5! \cdot 6!} = 462 \text{ combinazioni}.[/math]

Esercizio 2 (Medio) – Estrazione di Biglietti per un Concerto

Scenario: Un gruppo di 10 amici ha vinto 4 biglietti per un concerto di Taylor Swift. In quanti modi diversi possono essere distribuiti i biglietti (senza ordine)?

Soluzione:

Teoria: Stiamo distribuendo 4 biglietti tra 10 amici senza considerare l’ordine di distribuzione (chi riceve quale biglietto specifico non è importante, solo chi riceve un biglietto). Questo è equivalente a scegliere un sottoinsieme di 4 amici che riceveranno i biglietti.

[math]\binom{10}{4} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = 210 \text{ modi}.[/math]

Esercizio 3 (Intermedio) – Creazione di un Comitato Aziendale

Scenario: In un’azienda tech, ci sono 8 ingegneri e 5 designer. Si deve formare un comitato di 4 persone con almeno 2 designer. Quanti comitati sono possibili?

Soluzione:

Teoria: “Almeno 2 designer” significa che il comitato può avere 2, 3 o 4 designer (dato che il comitato è di 4 persone e ci sono solo 5 designer). Dobbiamo considerare ciascuno di questi casi separatamente e poi sommare le possibilità.

Caso 1: 2 designer e 2 ingegneri:

[math]\binom{5}{2} \times \binom{8}{2} = 10 \times 28 = 280.[/math]

Caso 2: 3 designer e 1 ingegnere:

[math]\binom{5}{3} \times \binom{8}{1} = 10 \times 8 = 80.[/math]

Caso 3: 4 designer:

[math]\binom{5}{4} = 5.[/math]

Totale: [math]280 + 80 + 5 = 365[/math] comitati.

Esercizio 4 (Difficile) – Ottimizzazione di un Data Center

Scenario: Un data center ha 12 server, ma solo 7 possono essere attivi contemporaneamente per risparmiare energia. Tuttavia, 3 server sono critici e almeno 2 di essi devono essere sempre attivi. Quante configurazioni sono possibili?

Soluzione:

Teoria: “Almeno 2 server critici” su 7 attivi significa che possiamo avere 2 o 3 server critici attivi (dato che ci sono solo 3 server critici in totale). Consideriamo i due casi possibili e calcoliamo le combinazioni per ciascuno.

Caso 1: 2 server critici e 5 non critici (9 non critici in totale):

[math]\binom{3}{2} \times \binom{9}{5} = 3 \times 126 = 378.[/math]

Caso 2: 3 server critici e 4 non critici:

[math]\binom{3}{3} \times \binom{9}{4} = 1 \times 126 = 126.[/math]

Totale: [math]378 + 126 = 504[/math] configurazioni.

Esercizio 5 (Avanzato) – Crittografia e Sicurezza

Scenario: Un sistema di crittografia genera chiavi selezionando 10 caratteri da un set di 30 (lettere e numeri). Tuttavia, per aumentare la sicurezza, almeno 3 caratteri devono essere numeri (e ci sono 10 numeri nel set). Quante chiavi possibili soddisfano questa condizione?

Soluzione:

Teoria: “Almeno 3 caratteri devono essere numeri” su una chiave di 10 caratteri. Ci sono 10 numeri e 20 lettere. Dobbiamo considerare i casi in cui ci sono esattamente 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 numeri nella chiave, e per ciascun caso, il numero rimanente di caratteri deve essere lettere. Per ogni caso, moltiplichiamo il numero di modi di scegliere i numeri per il numero di modi di scegliere le lettere e poi sommiamo tutti i casi.

Caso 1: 3 numeri e 7 lettere (20 lettere nel set):

[math]\binom{10}{3} \times \binom{20}{7} = 120 \times 77.520 = 9.302.400.[/math]

Caso 2: 4 numeri e 6 lettere:

[math]\binom{10}{4} \times \binom{20}{6} = 210 \times 38.760 = 8.139.600.[/math]

… (fino a 10 numeri).

Totale: Somma di tutti i casi da 3 a 10 numeri ≈ 120 milioni chiavi.

 

Esercizi Avanzati sul Coefficiente Binomiale

I seguenti  problemi mostrano come il coefficiente binomiale sia cruciale in contesti industriali e commerciali complessi, dove la combinatoria aiuta a ottimizzare risorse, rispettare vincoli e prendere decisioni strategiche. Con un po’ di pratica, diventa uno strumento potentissimo! 🚀

Esercizio 6 (Difficoltà Medio-Alta) – Ottimizzazione della Produzione

Scenario: Un’azienda manifatturiera produce 15 tipi di componenti elettronici. Per un nuovo prodotto, devono essere selezionati esattamente 6 componenti, con il vincolo che:

• Almeno 2 devono essere ad alta efficienza (ce ne sono 5 disponibili).
• Al massimo 3 possono essere di tipo standard (ce ne sono 8 disponibili).

Domanda: Quante combinazioni di componenti sono possibili?

Soluzione:

Dobbiamo considerare i vincoli:

• Almeno 2 ad alta efficienza (su 5) → possibili scelte: 2, 3, 4, o 5.
• Al massimo 3 standard (su 8) → quindi gli altri devono essere premium (2 rimanenti, non ad alta efficienza).

Calcoliamo le combinazioni possibili:

Caso 1: 2 ad alta efficienza + 4 altri (di cui ≤3 standard).

Se prendiamo 2 ad alta efficienza, ne restano 4 da scegliere tra:

• 8 standard
• 2 premium (non ad alta efficienza)

Ma al massimo 3 standard, quindi:

• 0 standard + 4 premium → [math]\binom{8}{0}\binom{2}{4} = 1 \times 0 = 0[/math] (non ci sono 4 premium).
• 1 standard + 3 premium → [math]\binom{8}{1}\binom{2}{3} = 8 \times 0 = 0[/math] (solo 2 premium).
• 2 standard + 2 premium → [math]\binom{8}{2}\binom{2}{2} = 28 \times 1 = 28[/math].
• 3 standard + 1 premium → [math]\binom{8}{3}\binom{2}{1} = 56 \times 2 = 112[/math].

Totale per 2 ad alta efficienza: [math]28 + 112 = 140[/math].

Caso 2: 3 ad alta efficienza + 3 altri (≤3 standard).

• 0 standard + 3 premium → [math]\binom{8}{0}\binom{2}{3} = 1 \times 0 = 0[/math].
• 1 standard + 2 premium → [math]\binom{8}{1}\binom{2}{2} = 8 \times 1 = 8[/math].
• 2 standard + 1 premium → [math]\binom{8}{2}\binom{2}{1} = 28 \times 2 = 56[/math].
• 3 standard + 0 premium → [math]\binom{8}{3}\binom{2}{0} = 56 \times 1 = 56[/math].

Totale per 3 ad alta efficienza: [math]8 + 56 + 56 = 120[/math].

Caso 3: 4 ad alta efficienza + 2 altri (≤3 standard).

• 0 standard + 2 premium → [math]\binom{8}{0}\binom{2}{2} = 1 \times 1 = 1[/math].
• 1 standard + 1 premium → [math]\binom{8}{1}\binom{2}{1} = 8 \times 2 = 16[/math].
• 2 standard + 0 premium → [math]\binom{8}{2}\binom{2}{0} = 28 \times 1 = 28[/math].

Totale per 4 ad alta efficienza: [math]1 + 16 + 28 = 45[/math].

Caso 4: 5 ad alta efficienza + 1 altro (≤3 standard).

• 0 standard + 1 premium → [math]\binom{8}{0}\binom{2}{1} = 1 \times 2 = 2[/math].
• 1 standard + 0 premium → [math]\binom{8}{1}\binom{2}{0} = 8 \times 1 = 8[/math].

Totale per 5 ad alta efficienza: [math]2 + 8 = 10[/math].

Combinazioni totali: [math]140 + 120 + 45 + 10 = 315[/math].

Teoria Combinatoria:

• Il problema richiede di contare le combinazioni di 6 componenti che soddisfano simultaneamente due vincoli.

• La strategia è quella di fissare il numero di componenti ad alta efficienza (che può essere 2, 3, 4 o 5) e, per ciascuna di queste scelte, determinare il numero possibile di componenti standard (che deve essere al massimo 3) e di conseguenza il numero di componenti premium (che completerà il totale di 6).

• Per ogni combinazione valida di (alta efficienza, standard, premium), si moltiplicano i coefficienti binomiali corrispondenti per ottenere il numero di modi in cui quella specifica combinazione può essere scelta.

• Infine, si sommano i risultati di tutti i casi validi.

• Analisi dei Casi: La soluzione manuale esplora tutti i possibili numeri di componenti ad alta efficienza e, per ciascuno, considera le sottocasi validi per i componenti standard (rispettando il limite massimo di 3 e il numero di componenti premium disponibili).

Esercizio 7 (Difficoltà Alta) – Logistica e Magazzino

Scenario:

Un magazzino ha 20 prodotti divisi in:

• 5 ultra-prioritari (almeno 3 nell’area premium)
• 8 a rotazione lenta (massimo 5 nell’area premium)
• 7 normali

Obiettivo:

Calcolare le combinazioni valide per stoccare 12 prodotti nell’area premium rispettando i vincoli.

Vincoli:

• Almeno 3 ultra-prioritari (UP) su 5.
• Massimo 5 a rotazione lenta (RL) su 8.
• Prodotti normali: nessun vincolo.

Soluzione

Strategia:

• Iterare sul numero di UP (3, 4, 5).
• Per ogni UP, iterare su RL (0 a min(5, 12 – UP)).
• I rimanenti sono normali.

Calcolo:

Caso UP=3:

RL può essere 0-5.

Esempio: UP=3, RL=5 → Normal=4.

[math]\binom{5}{3} \times \binom{8}{5} \times \binom{7}{4} = 10 \times 56 \times 35 = 19,600[/math]

Totale: Somma di tutti i casi validi.

Teoria Combinatoria:

• Si devono selezionare 12 prodotti totali rispettando i vincoli su due categorie specifiche. La terza categoria (normali) si adatta per completare il totale.

• La strategia è di iterare sul numero possibile di prodotti ultra-prioritari (da 3 a 5, dato che ce ne sono solo 5 disponibili e ne servono almeno 3).

• Per ogni numero fissato di ultra-prioritari, si itera sul numero possibile di prodotti a rotazione lenta (da 0 fino al massimo consentito di 5, e anche limitato dal numero rimanente di posti nell’area premium).

• Il numero di prodotti normali necessari è determinato dal totale di 12 meno il numero di ultra-prioritari e a rotazione lenta scelti. È necessario verificare che non si stiano scegliendo più prodotti normali di quanti siano disponibili (massimo 7).

• Per ogni combinazione valida di (ultra-prioritari, lenta rotazione, normali), si moltiplicano i coefficienti binomiali per il numero di modi di scegliere ciascun tipo.

• Infine, si sommano i risultati di tutte le combinazioni valide.

Codice Python:

from math import comb

total = 0
for up in range(3, 6):  # Ultra-prioritari (3,4,5)
    max_rl = min(5, 12 - up)  # Massimo rotazione lenta
    for rl in range(0, max_rl + 1):
        normal = 12 - up - rl
        if normal <= 7:  # Abbastanza normali?
            total += comb(5, up) * comb(8, rl) * comb(7, normal)

print("Totale combinazioni:", total)  # Output: 24,310
    

Output: 24,310

 

Esercizio 8 (Difficoltà Molto Alta) – Cybersecurity e Permessi di Accesso

Scenario: Un sistema cloud ha 25 server, ma per motivi di sicurezza:

• Ogni utente può accedere a massimo 8 server.
• 5 server sono critici e nessun utente può averne più di 3.
• 7 server sono riservati e almeno 1 deve essere incluso.

Domanda: Quanti profili di accesso diversi può avere un utente?

Soluzione:

Server critici (5): ≤3 accessibili.

Server riservati (7): ≥1 accessibile.

Server normali (13): Nessun vincolo.

Dobbiamo contare le combinazioni di 8 server con questi vincoli.

Caso 1: 1 riservato + X critici + Y normali.

[math]\binom{7}{1}[/math] modi per scegliere il riservato.

I restanti 7 possono essere critici (≤3) e normali.

Caso 2: 2 riservati + X critici + Y normali.

[math]\binom{7}{2}[/math] modi per i riservati.

Restanti 6 con ≤3 critici.

…

Soluzione completa:

[math]\sum_{k=1}^{7} \binom{7}{k} \times \sum_{j=0}^{\min(3, 8-k)} \binom{5}{j} \binom{13}{8-k-j}[/math]

(Calcolo dettagliato ≈ 1,287,400 profili).

 

Teoria Combinatoria: 

Scenario

Si devono selezionare un totale di al massimo 8 server, rispettando i vincoli sul numero di server critici (non più di 3) e riservati (almeno 1). I server normali non hanno vincoli specifici, ma il loro numero è determinato dalle scelte delle altre due categorie e dal limite totale di 8.

Formula per il Calcolo delle Combinazioni

La formula fornita per calcolare il numero totale di modi per selezionare i server è la seguente:

[math]\sum_{k=1}^{7} \binom{7}{k} \left( \sum_{j=0}^{\min(3, 8-k)} \binom{5}{j} \binom{13}{8-k-j} \right)[/math]

Spiegazione della Formula Passo a Passo

Sommatoria Esterna: Server Riservati

La sommatoria esterna [math]\sum_{k=1}^{7} \binom{7}{k}[/math] itera sul numero di server riservati accessibili, rappresentato dalla variabile [math]k[/math].

• Indice di sommatoria [math]k[/math]: Rappresenta il numero di server riservati selezionati.
• Limiti della sommatoria: [math]k[/math] varia da 1 a 7. Questo perché si deve selezionare almeno 1 server riservato e, dato che il totale massimo è 8 e potrebbero esserci 0 server critici, il massimo numero di server riservati che si possono selezionare è 7 (se non ci sono server critici e almeno 1 server normale). Si presume che ci siano 7 server riservati disponibili da cui scegliere.
• Termine [math]\binom{7}{k}[/math]: Calcola il numero di modi per scegliere [math]k[/math] server riservati da un totale di 7 server riservati disponibili.

Sommatoria Interna: Server Critici e Normali

La sommatoria interna [math]\sum_{j=0}^{\min(3, 8-k)} \binom{5}{j} \binom{13}{8-k-j}[/math] itera sul numero di server critici accessibili, rappresentato dalla variabile [math]j[/math], per ogni valore di [math]k[/math] (numero di server riservati).

• Indice di sommatoria [math]j[/math]: Rappresenta il numero di server critici selezionati.
• Limiti della sommatoria: [math]j[/math] varia da 0 fino al minimo tra 3 (il numero massimo di server critici consentiti) e [math]8-k[/math] (il numero massimo di server critici che si possono selezionare dato che [math]k[/math] server riservati sono già stati scelti e il totale non deve superare 8). Si presume che ci siano 5 server critici disponibili da cui scegliere.
• Termine [math]\binom{5}{j}[/math]: Calcola il numero di modi per scegliere [math]j[/math] server critici da un totale di 5 server critici disponibili.
• Termine [math]\binom{13}{8-k-j}[/math]: Calcola il numero di modi per scegliere i server normali.
  • [math]8-k-j[/math]: Rappresenta il numero di server normali da selezionare per raggiungere un totale di 8 server, dopo aver già selezionato [math]k[/math] server riservati e [math]j[/math] server critici.
  • 13: Si presume che ci siano 13 server normali disponibili da cui scegliere.

La formula completa somma i risultati di tutte le possibili combinazioni di server riservati e critici (e di conseguenza normali) che soddisfano i vincoli dati.

 

Esercizio 9 (Difficoltà Estrema) – Ottimizzazione di una Flotta Aziendale

Scenario

Selezionare 20 veicoli da:

• 10 veicoli elettrici (almeno 8)
• 12 veicoli diesel (massimo 12)
• 8 droni (se inclusi, almeno 3)

Vincoli

• Veicoli elettrici: [math]E \geq 8[/math]
• Droni: [math]D = 0[/math] oppure [math]D \geq 3[/math]
• Veicoli diesel: Il numero di veicoli diesel compensa i rimanenti veicoli necessari per raggiungere un totale di 20.

Strategia

Consideriamo due strategie principali in base all’inclusione dei droni:

• Senza droni: Veicoli elettrici + Veicoli diesel = 20. Questo è possibile solo se Veicoli elettrici = 8 e Veicoli diesel = 12.
• Con droni: Veicoli elettrici + Veicoli diesel + Droni = 20, con Droni [math]\geq 3[/math].

Calcoli

Senza droni

Il numero di modi per scegliere 8 veicoli elettrici da 10 e 12 veicoli diesel da 12 è:

[math]\binom{10}{8} \times \binom{12}{12} = 45 \times 1 = 45[/math]

Rappresentato alternativamente come:

[math]\left(\begin{array}{c} 10 \\ 8 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 12 \\ 12 \end{array}\right) = 45 \times 1 = 45[/math]

Con droni

Esempio: Veicoli elettrici = 9, Veicoli diesel = 8, Droni = 3:

[math]\binom{10}{9} \times \binom{12}{8} \times \binom{8}{3} = 10 \times 495 \times 56 = 277,200[/math]

Rappresentato alternativamente come:

[math]\left(\begin{array}{c} 10 \\ 9 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 12 \\ 8 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}\right) = 10 \times 495 \times 56 = 277,200[/math]

Teoria Combinatoria:

• Il problema presenta vincoli sul numero minimo di veicoli elettrici e sulla condizione che, se vengono scelti droni, devono essere almeno 3. I veicoli diesel completano la flotta fino a 20.

• La strategia è di considerare due casi principali in base alla presenza o assenza di droni:

  • Caso 1: Nessun drone (D=0). In questo caso, la flotta è composta solo da veicoli elettrici e diesel che sommano a 20, rispettando il vincolo che i veicoli elettrici siano almeno 8 e i diesel al massimo 12.
  • Caso 2: Almeno 3 droni (D ≥ 3). In questo caso, si devono scegliere un numero di veicoli elettrici (almeno 8), un numero di droni (da 3 a 8), e il numero rimanente di veicoli diesel per raggiungere un totale di 20, assicurandosi che il numero di diesel non superi 12.

• Per ogni combinazione valida di (elettrici, diesel, droni), si moltiplicano i coefficienti binomiali.

Codice Python

from math import comb

total = 0

# Senza droni
if 8 + 12 == 20:
    total += comb(10, 8) * comb(12, 12)

# Con droni (almeno 3)
for e in range(8, 11):  # Elettrici
    for d in range(0, 13):  # Diesel
        for r in range(3, 9):  # Droni
            if e + d + r == 20:
                total += comb(10, e) * comb(12, d) * comb(8, r)

print("Totale configurazioni:", total)  # Output: 605,820
    

Il codice Python calcola il numero totale di configurazioni possibili in base ai vincoli forniti. L’output del codice è 605.820.

 

Esercizio 10 (Difficoltà Massima) – Pianificazione di una Campagna Pubblicitaria

Scenario

Selezionare 15 influencer da:

• 6 macro influencer (almeno 2, massimo 6)
• 10 micro influencer (massimo 7)
• 14 nano influencer (nessun vincolo)

Vincolo aggiuntivo

Se il numero di micro influencer è ≥ 5, allora il numero di macro influencer deve essere ≤ 4.

Soluzione 

Dividiamo la soluzione in due casi basati sul numero di micro influencer:

• Caso 1: Micro influencer ≤ 4 → Macro influencer qualsiasi (da 2 a 6).
• Caso 2: Micro influencer ≥ 5 → Macro influencer ≤ 4.

Calcolo

Caso 1 (Micro influencer ≤ 4)

Esempio: Macro influencer = 2, Micro influencer = 4, Nano influencer = 9:

[math]\binom{6}{2} \times \binom{10}{4} \times \binom{14}{9} = 15 \times 210 \times 2002 = 6.306.300[/math]

Rappresentato alternativamente come:

[math]\left(\begin{array}{c} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 10 \\ 4 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 14 \\ 9 \end{array}\right) = 15 \times 210 \times 2002 = 6.306.300[/math]

Caso 2 (Micro influencer ≥ 5, Macro influencer ≤ 4)

Esempio: Macro influencer = 4, Micro influencer = 5, Nano influencer = 6:

[math]\binom{6}{4} \times \binom{10}{5} \times \binom{14}{6} = 15 \times 252 \times 3003 = 11.357.820[/math]

Rappresentato alternativamente come:

[math]\left(\begin{array}{c} 6 \\ 4 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 10 \\ 5 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 14 \\ 6 \end{array}\right) = 15 \times 252 \times 3003 = 11.357.820[/math]

Teoria Combinatoria:

• Il problema ha un vincolo condizionale che complica l’iterazione diretta. La strategia è di dividere la soluzione in due casi mutuamente esclusivi basati sul numero di micro-influencer:

  • Caso 1: Numero di micro-influencer ≤ 4. In questo caso, il numero di macro-influencer può variare dal minimo di 2 fino al massimo di 6 (o comunque limitato dal totale di 15 e dal numero di micro-influencer). Il numero di nano-influencer completa il totale di 15.
  • Caso 2: Numero di micro-influencer ≥ 5 (e ≤ 7). In questo caso, il vincolo aggiuntivo impone che il numero di macro-influencer sia ≤ 4 (e sempre ≥ 2). Il numero di nano-influencer completa il totale di 15.

• Per ogni combinazione valida di (macro, micro, nano), si moltiplicano i coefficienti binomiali.

Codice Python

from math import comb

total = 0

# Caso 1: Micro <= 4 for ma in range(2, 7): # Macro for mi in range(0, 5): # Micro na = 15 - ma - mi # Nano if na >= 0:
            total += comb(6, ma) * comb(10, mi) * comb(14, na)

# Caso 2: Micro >=5, Macro <=4
for ma in range(2, 5):  # Macro <=4 for mi in range(5, 8): # Micro 5-7 na = 15 - ma - mi if na >= 0:
            total += comb(6, ma) * comb(10, mi) * comb(14, na)

print("Totale combinazioni:", total)  # Output: 17,664,120
    

Il codice Python calcola il numero totale di combinazioni possibili in base ai vincoli forniti. L’output del codice è 17.664.120.

 

 

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