Spesso, quando studiamo probabilità, ci concentriamo sul “comportamento medio”: quanto piove in media, l’altezza media, il voto medio. Ma la realtà diventa interessante quando guardiamo agli estremi. Cosa succede quando una singola osservazione è così grande da sbilanciare tutto il gruppo? O quando cerchiamo l’anello più debole in una catena di eventi?
In questo articolo non ci limitiamo ad applicare formule. Vedremo, calcoli alla mano, come si comportano due “bestie” classiche della probabilità: la distribuzione di Pareto (famosa per le sue “code pesanti” che descrivono i super-ricchi o i terremoti devastanti) e il comportamento limite dei valori minimi. Attraverso due esercizi svolti, capiremo come trasformare prodotti complicati in somme gestibili e perché, a volte, moltiplicare per n è l’unico modo per vedere chiaramente cosa accade all’infinito.
Esercizio 1: Variabili Aleatorie di Pareto e Legge dei Grandi Numeri
Abbiamo [math]X_n[/math] successione di variabili aleatorie indipendenti con coda di sopravvivenza:
[math]\displaystyle
P(X_i>x) = \begin{cases}
1, & x \leq 1 \\
x^{-\lambda}, & x > 1
\end{cases},\quad \lambda > 1.
[/math]
- Calcolare la densità di [math]X_i[/math].
- Calcolare [math]E[X_i][/math].
- Determinare la legge di [math]Y_i=\log(X_i)[/math].
- Studiare la convergenza della successione
[math]Z_n=(X_1X_2\cdots X_n)^{1/n}[/math].
(a) Densità di [math]X_i[/math]
La funzione di sopravvivenza è [math]S_X(x)=P(X>x)[/math]. La funzione di ripartizione è [math]F_X(x)=1-S_X(x)[/math].
- Per [math]x\leq 1[/math]: [math]S_X(x)=1 \Rightarrow F_X(x)=0[/math].
- Per [math]x>1[/math]: [math]S_X(x)=x^{-\lambda} \Rightarrow F_X(x)=1-x^{-\lambda}[/math].
La densità [math]f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)[/math]:
- per [math]x<1[/math]: [math]F_X[/math] costante 0 → derivata 0
- per [math]x>1[/math]: [math]F_X(x)=1-x^{-\lambda}[/math]
[math]\displaystyle
f_X(x) = \frac{d}{dx}(1-x^{-\lambda}) = \lambda x^{-\lambda-1}.
[/math]
Quindi:
[math]\displaystyle
f_X(x) = \begin{cases}
\lambda x^{-(\lambda+1)}, & x>1 \\
0, & x\leq 1
\end{cases}.
[/math]
Osservazione 💡
Questa è una distribuzione di Pareto con soglia [math]x_m=1[/math] e parametro di forma [math]\lambda>0[/math]. Per [math]\lambda>1[/math] la media è finita; per [math]\lambda\leq 1[/math] la media è infinita.
(b) Media di [math]X_i[/math]
[math]\displaystyle
E[X_i] = \int_{1}^{\infty} x \cdot \lambda x^{-(\lambda+1)} \,dx = \lambda \int_{1}^{\infty} x^{-\lambda} \,dx.
[/math]
Integrale:
[math]\displaystyle
\int_{1}^{\infty} x^{-\lambda} \,dx = \left[\frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda}\right]_{1}^{\infty}.
[/math]
Poiché [math]\lambda>1[/math]: [math]1-\lambda<0[/math], dunque [math]x^{1-\lambda} \to 0[/math] per [math]x\to\infty[/math]. Valutando:
[math]\displaystyle
\begin{aligned}
&= 0 – \frac{1^{1-\lambda}}{1-\lambda} \\
&= -\frac{1}{1-\lambda} = \frac{1}{\lambda-1}
\end{aligned}
[/math]
Moltiplicando per [math]\lambda[/math]:
[math]\displaystyle
E[X_i] = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda-1} = \frac{\lambda}{\lambda-1}.
[/math]
(c) Legge di [math]Y_i=\log(X_i)[/math]
Usiamo il metodo della trasformazione di variabile monotona.
Sia [math]y=\log x \Rightarrow x=e^y[/math]. Allora [math]x>1[/math] implica [math]y>0[/math].
La densità di [math]Y[/math]: [math]f_Y(y)=f_X(e^y) \cdot \left|\frac{dx}{dy}\right| = f_X(e^y) \cdot e^y[/math].
Abbiamo [math]f_X(e^y) = \lambda (e^y)^{-(\lambda+1)} = \lambda e^{-y(\lambda+1)}[/math] per [math]e^y>1 \Rightarrow y>0[/math].
Moltiplicando per [math]e^y[/math]:
[math]\displaystyle
f_Y(y) = \lambda e^{-y(\lambda+1)} \cdot e^y = \lambda e^{-y\lambda}, \quad y>0.
[/math]
Quindi [math]Y_i \sim \text{Esponenziale}(\lambda)[/math]:
[math]f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y}, \quad y>0.[/math]
Osservazione 💡
Il logaritmo di una Pareto (soglia 1) è una esponenziale. Questo è utile per passare da prodotti a somme.
(d) Convergenza di [math]Z_n=(X_1\cdots X_n)^{1/n}[/math]
Prendiamo il logaritmo:
[math]\displaystyle
\log Z_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\log X_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i,
[/math]
con [math]Y_i \sim \text{Exp}(\lambda)[/math] indipendenti.
La media di [math]Y_i[/math] (variabile esponenziale di tasso [math]\lambda[/math]):
[math]E[Y_i]=\frac{1}{\lambda}.[/math]
La varianza: [math]\text{Var}(Y_i)=\frac{1}{\lambda^2}[/math] finita.
Per la legge dei grandi numeri forte:
[math]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i \xrightarrow{n\to\infty} \frac{1}{\lambda} \quad q.c.[/math]
Quindi:
[math]\log Z_n \xrightarrow{q.c.} \frac{1}{\lambda}.[/math]
Per continuità della funzione esponenziale:
[math]Z_n \xrightarrow{q.c.} e^{1/\lambda}.[/math]
Conclusione: [math]Z_n[/math] converge quasi certamente (e quindi in probabilità e in legge) a [math]e^{1/\lambda}[/math].
Esercizio 2: Limite degli Estremi (Minimo di Uniformi)
[math]X_1,X_2,\ldots[/math] i.i.d. uniformi in [math][0,\lambda][/math], [math]\lambda>0[/math].
Sia [math]T_n=n\cdot\min(X_1,\ldots,X_n)[/math].
- Calcolare la funzione di ripartizione di [math]T_n[/math] per [math]n[/math] fissato.
- Mostrare che [math]T_n[/math] converge in legge a una v.a. [math]Y[/math] e identificare la legge di [math]Y[/math].
(a) Funzione di ripartizione di [math]T_n[/math]
Sia [math]M_n=\min(X_1,\ldots,X_n)[/math].
Per [math]m\geq 0[/math]:
[math]\displaystyle
P(M_n>m) = P(X_1>m,\ldots,X_n>m) = (P(X_1>m))^n.
[/math]
Essendo [math]X_1\sim U[0,\lambda][/math]:
[math]\displaystyle
P(X_1>m) = \begin{cases}
1 – \frac{m}{\lambda}, & 0 \leq m \leq \lambda \\
0, & m > \lambda
\end{cases}.
[/math]
Quindi per [math]0 \leq m \leq \lambda[/math]:
[math]\displaystyle
F_{M_n}(m) = 1 – P(M_n>m) = 1 – \left(1 – \frac{m}{\lambda}\right)^n.
[/math]
Ora [math]T_n=nM_n[/math]. Per [math]t\geq 0[/math]:
[math]\displaystyle
F_{T_n}(t) = P(T_n\leq t) = P\left(M_n\leq \frac{t}{n}\right) = F_{M_n}\left(\frac{t}{n}\right).
[/math]
Distinguiamo i casi su [math]t/n[/math] rispetto a [math]\lambda[/math]:
- Caso 1: Se [math]\frac{t}{n}\leq 0[/math] (cioè [math]t\leq 0[/math]): [math]F_{T_n}(t)=0[/math].
- Caso 2: Se [math]0\leq \frac{t}{n}\leq \lambda[/math] (cioè [math]0\leq t\leq n\lambda[/math]):
[math]\displaystyle
F_{T_n}(t) = 1 – \left(1 – \frac{t/n}{\lambda}\right)^n = 1 – \left(1 – \frac{t}{n\lambda}\right)^n.
[/math] - Caso 3: Se [math]\frac{t}{n}>\lambda[/math] (cioè [math]t>n\lambda[/math]): [math]F_{T_n}(t)=1[/math].
Quindi:
[math]\displaystyle
F_{T_n}(t) = \begin{cases}
0, & t\leq 0 \\
1 – \left(1 – \frac{t}{n\lambda}\right)^n, & 0\leq t\leq n\lambda \\
1, & t>n\lambda
\end{cases}.
[/math]
(b) Convergenza in legge di [math]T_n[/math]
Fissiamo [math]t>0[/math]. Per [math]n[/math] abbastanza grande ([math]n > t/\lambda[/math]), abbiamo [math]0\leq t\leq n\lambda[/math], quindi:
[math]\displaystyle
F_{T_n}(t) = 1 – \left(1 – \frac{t}{n\lambda}\right)^n.
[/math]
Ricordiamo il limite notevole:
[math]\displaystyle
\lim_{n\to\infty}\left(1 – \frac{a}{n}\right)^n = e^{-a}.
[/math]
Qui [math]a=\frac{t}{\lambda}[/math]:
[math]\displaystyle
\lim_{n\to\infty}F_{T_n}(t) = 1 – e^{-t/\lambda}, \quad t\geq 0.
[/math]
Per [math]t<0[/math]: limite [math]0[/math].
La funzione limite
[math]\displaystyle
F(t) = \begin{cases}
1 – e^{-t/\lambda}, & t\geq 0 \\
0, & t<0
\end{cases},
[/math]
è la funzione di ripartizione di una v.a. esponenziale di media [math]\lambda[/math].
Quindi:
[math]T_n \xrightarrow{\text{legge}} Y \sim \text{Exp}(1/\lambda).[/math]
Osservazione 💡
È un esempio classico di convergenza a un’esponenziale usando la relazione [math](1-a/n)^n \to e^{-a}[/math]. Nota che il minimo di uniformi, moltiplicato per [math]n[/math], converge a un’esponenziale, analogo a un “limite di estremi” per variabili con densità positiva in 0.
Risposte Dettagliate alle Domande di Riflessione
Esercizio 1 – Analisi [math]\lambda\leq 1[/math]
Perché il logaritmo di una Pareto dà un’esponenziale? Cosa accadrebbe se [math]\lambda\leq 1[/math] per la convergenza di [math]Z_n[/math]?
Trasformazione logaritmica: Se [math]X[/math] ha coda di Pareto [math]P(X>x)=x^{-\lambda}[/math] per [math]x>1[/math], allora per [math]y>0[/math]:
[math]P(\log X>y)=P(X>e^y)=e^{-\lambda y},[/math]
che è la funzione di sopravvivenza di una v.a. esponenziale di parametro [math]\lambda[/math]. Quindi [math]Y=\log X\sim\text{Exp}(\lambda)[/math].
Convergenza per [math]\lambda\leq 1[/math]:
- Per [math]\lambda=1[/math], [math]Y[/math] è esponenziale di media [math]E[Y]=1[/math] finita. La Legge dei Grandi Numeri si applica, quindi [math]Z_n\to e^1[/math].
- Per [math]\lambda<1[/math], [math]E[Y]=1/\lambda[/math] è ancora finita (poiché [math]\lambda>0[/math]), quindi LLN vale: [math]Z_n\to e^{1/\lambda}[/math].
Il problema con [math]\lambda\leq 1[/math] non è nella convergenza di [math]Z_n[/math] (che è OK), ma nel fatto che [math]E[X_i][/math] è infinita per [math]\lambda\leq 1[/math] (variabile a coda pesante). La convergenza q.c. di [math]Z_n[/math] richiede solo [math]E[\log X_1][/math] finita, che vale per ogni [math]\lambda>0[/math].
Esercizio 2 – Analisi Scalatura
Perché la moltiplicazione per [math]n[/math] è necessaria per ottenere un limite non degenere? Cosa succederebbe se invece prendessimo [math]n\cdot\max(X_1,\ldots,X_n)[/math]?
Scala del minimo: Per [math]M_n=\min(X_1,\ldots,X_n)[/math] uniformi su [math][0,\lambda][/math]:
[math]P(M_n>m)=\left(1-\frac{m}{\lambda}\right)^n, \quad 0\leq m\leq\lambda.[/math]
Per [math]n[/math] grande, questa probabilità diventa piccola già per [math]m[/math] dell’ordine [math]O(1/n)[/math]. Infatti, ponendo [math]m=t/n[/math]: [math]P(M_n>t/n)\approx e^{-t/\lambda}[/math]. Dunque la scala naturale di [math]M_n[/math] è [math]1/n[/math]; moltiplicando per [math]n[/math] si ottiene una variabile [math]T_n=nM_n[/math] con distribuzione limite non degenere (esponenziale).
Se usassimo il massimo:
Sia [math]W_n=\max(X_1,\ldots,X_n)[/math]. Per [math]w[/math] vicino a [math]\lambda[/math]:
[math]F_{W_n}(w)=\left(\frac{w}{\lambda}\right)^n \to 0 \text{ per } w<\lambda, \to 1 \text{ per } w=\lambda.[/math]
Quindi [math]W_n\to\lambda[/math] in legge (degenere). Per ottenere un limite non degenere, bisogna riscalare lo scarto [math]\lambda-W_n[/math]: si può dimostrare che
[math]n(\lambda-W_n) \xrightarrow{\text{legge}} \text{Exp}(1/\lambda),[/math]
un comportamento analogo al minimo ma “speculare” rispetto all’estremo superiore [math]\lambda[/math].
💡 Dietro le Quinte
Al di là dell’algebra, questi due esercizi nascondono concetti fondamentali per l’analisi dei dati e l’ingegneria.
1. La Pareto e la “Tirannia” della Moltiplicazione
L’Esercizio 1 ci insegna una lezione preziosa sulla media geometrica. Quando analizziamo fenomeni governati dalla Pareto (come i redditi o le dimensioni dei file su internet), la media aritmetica è spesso instabile o addirittura infinita (se [math]\lambda \le 1[/math]). La media geometrica ([math]Z_n[/math]), invece, è molto più “democratica”: smorza l’effetto dei valori estremi grazie al logaritmo.
La peculiarità matematica qui è la “magia” del logaritmo: trasforma una distribuzione a coda pesante (difficile da maneggiare) in una tranquilla esponenziale (facilissima da gestire). È un trucco che i data scientist usano quotidianamente per normalizzare dati “impazziti”.
2. Il Minimo e l’Ingegneria dell’Affidabilità
L’Esercizio 2 è la base della Teoria dei Valori Estremi. Immagina una catena con [math]n[/math] anelli. La catena si rompe quando cede l’anello più debole (il minimo, [math]M_n[/math]).
L’esercizio ci dice che, all’aumentare degli anelli ([math]n \to \infty[/math]), la resistenza del minimo crolla a zero. Ma se “zoomiamo” moltiplicando per [math]n[/math] (ovvero osserviamo il sistema a una scala temporale o fisica diversa), scopriamo che il guasto segue una legge Esponenziale.
Questo risultato spiega perché la distribuzione esponenziale è così usata per modellare la “vita utile” dei componenti elettronici complessi: è il limite naturale del fallimento del primo componente in un sistema vasto.
Pareto & Analisi Strategica
👉 Distribuzione di Pareto: definizione, formula, proprietà ed esercizi risolti
👉 Il diagramma di Pareto: come interpretarlo e usarlo
👉 Analisi di Pareto nel marketing: ottimizzazione strategica delle campagne
👉 Le proprietà dei logaritmi: guida chiara e operativa
👉 Pareto e matrice di Ansoff: analisi probabilistica dei ricavi e gestione del rischio
