Criteri di decisione quando le conseguenze non sono valori scalari
In tutti i casi in cui la conseguenza di ciascuna decisione non è un valore scalare occorre definire la funzione w(•) che a ciascun x ∈ A (conseguenze delle decisioni) associa il corrispondente scalare w(x) che servirà per stabilire la “graduatoria”.
Un caso tipico è il seguente.
Capitali disponibili in uno o più istanti futuri
I) Caso senza controprestazione monetaria immediata
Confronto dei valori attuali
Si deve decidere tra due o più rendite, cioè insiemi di pagamenti (da effettuare o ricevere) di importo fissato, disponibili in tempi futuri; va tenuto in considerazione anche il differimento dei pagamenti, a causa del quale in determinate situazioni potrebbe essere preferibile per il debitore una soluzione che comporta una spesa maggiore, ma pagamenti più lontani nel tempo; simmetricamente, potrebbe essere preferibile per il creditore una soluzione che comporta un incasso minore, ma pagamenti più ravvicinati.
Bisogna associare a ciascuna delle due alternative un valore scalare, per rendere possibile il confronto.
Una possibilità ragionevole è associare a ciascuna rendita il suo valore attuale, che conveniamo di calcolare sempre con le regole della capitalizzazione composta, rispetto a un determinato tasso i “di mercato”.
Si tratta di un modello matematico alquanto semplificato, che suppone in modo non molto verosimile l’esistenza di un tasso di mercato uguale per tutti gli operatori e invariante nel tempo; è comunque un modo ragionevole per assegnare un valore al differimento dei pagamenti.
In funzione del tasso di mercato si ottengono valori attuali diversi, e quale sia la decisione migliore dipende dal tasso, come vedremo nel seguente esempio.
Esempio
Immaginiamo di richiedere un servizio in natura, per esempio una ristrutturazione edilizia; dobbiamo scegliere tra due imprese: per lo stesso lavoro, la prima chiede 2200€ tra sei mesi, e ulteriori 3500€ tra un anno; la seconda 6000€ in unica soluzione, da pagare tra due anni.
Quale delle due alternative conviene scegliere?
Soluzione
Come abbiamo detto sopra, assegnato il tasso di mercato i, calcoliamo i valori attuali di ciascuna delle due rendite.
Osserviamo che in questo esempio la scelta migliore è quella dal valore attuale minimo, perché siamo nei panni di colui che paga.
Vediamo che il tasso 0,03 cioè 3% rende preferibile d1; tassi più alti rendono preferibile d2, in modo sempre più marcato al crescere di i; il significato di ciò è che più è elevato il tasso, tanto maggiore è il valore del tempo, per cui il maggiore differimento nel pagamento in d2 compensa l’importo complessivamente più elevato che ci impegniamo a pagare: 6000€ anziché 5700€.
Al contrario, tassi molto piccoli portano più facilmente a scegliere l’alternativa per la quale è minima la somma degli importi delle rate, perché in tal caso i rispettivi valori attuali differiscono assai poco dall’importo effettivo.
Confronto dei tassi interni di investimento
Come nel caso precedente, la decisione che si deve assumere è la scelta tra due o più rendite. La differenza è che ciascuna di queste rendite costituisce il compenso per un pagamento immediato di importo noto C, uguale per tutte le rendite considerate.
Lo scenario, visto ancora dalla parte di uno o dell’altro dei due attori, può essere:
“Investimento”: Abbiamo una somma di denaro C da investire, in cambio della quale diverse controparti ci offrono rendite diverse per importi e tempi di pagamento delle rate.
“Finanziamento”: Abbiamo bisogno di una somma di denaro C; diverse controparti ci offrono C in prestito, chiedendo in cambio rendite diverse per importi e tempi di pagamento delle rate.
Un indicatore ragionevole della minore o maggiore convenienza di ciascuna decisione è il tasso interno di rendimento, cioè il tasso i con il quale il valore attuale della rendita considerata sia proprio uguale a C.
Il tasso interno di rendimento (TIR)
Rappresenta il tasso di attualizzazione in corrispondenza del quale:
VA dei flussi di cassa generati = Esborso iniziale ossia VAN=0
TIR > costo opportunità del capitale
⇒ VAN > 0 il progetto è economicamente conveniente
TIR < costo opportunità del capitale
⇒VAN < 0 il progetto non è economicamente conveniente
Come si calcola il TIR
Quando i flussi di cassa generati non sono di pari importo il TIR si ottiene ponendo risolvendo l’equazione:
Condizione sufficiente affinché un polinomio di grado n abbia una sola radice è che vi sia un unico cambiamento di segno nella serie dei coefficienti (Fi) del polinomio (regola del segno di Descartes).
⇒ Per calcolare il TIR non è dunque necessario conoscere il costo opportunità del capitale, ma per applicare il metodo del TIR sì.
Nel caso dell’investimento questo criterio di scelta propone di decidere per l’investimento che offre un t.i.r. maggiore;
nel caso del finanziamento, al contrario, è da preferire quello che impone un tasso minore.
Anche in questo caso il criterio non è esente da possibili critiche, perché, per esempio, potrebbe non essere gradito a un investitore realizzare il frutto del suo investimento in un tempo eccessivamente lungo, anche se ben remunerato in termini di tasso; qui ci si limita ad assumere questo criterio di scelta e a trarne le conseguenze.
Esempio
Dobbiamo investire la somma di 5500€; una Banca ci offre in cambio un’obbligazione che pagherà 2200€ tra sei mesi, e ulteriori 3500€ tra un anno; un’altra Banca offre un’obbligazione che rimborserà 6000€ in unica soluzione, tra due anni.
Quale delle due alternative conviene scegliere, se come criterio di scelta si assume il t.i.r.?
Soluzione
Calcoliamo il tasso interno di rendimento di ciascuna delle due obbligazioni.
Il tasso interno di rendimento corrispondente a d1 è leggermente maggiore di quello corrispondente a d2; se il criterio di scelta assunto è quello del t.i.r., preferiremo investire in d1.
Osservazione.
La scelta effettuata in base al t.i.r. non dipende soltanto da importi e tempi delle rate che ci verranno corrisposte, ma anche dall’importo investito, nel senso che le stesse prestazioni offerte da d1 e d2 in cambio di un importo C diverso da 5500€ potrebbero condurre a una scelta differente.
Per esempio, con C = 5600 si ottiene:
Questa volta è sensibilmente maggiore il t.i.r. corrispondente a d2, la quale sarà dunque preferita a d1. Ciò dipende dal fatto che il rendimento di un investimento di breve durata è più sensibile alla variazione del prezzo di quanto lo sia un investimento su tempi maggiori; questo fatto si nota anche nel nostro esempio:
l’aumento di 100€ del prezzo, da 5500 a 5600, ha causato una diminuzione del t.i.r. per entrambe le alternative, però assai maggiore per d1.
