Esercizio 1

Tassi elevati di inquinamento atmosferico possono determinare reazioni allergiche gravi.
Durante un mese (30 giorni), nel pronto soccorso di un ospedale si sono avuti 27 ricoveri urgenti. Può essere ragionevole ipotizzare che gli eventi abbiano una distribuzione giornaliera costante, in accordo con la legge di Poisson.
Calcolare la probabilità ( P_i ) di avere i casi di allergia al giorno, per i che varia da 0 a 8.

Soluzione

Dopo aver calcolato la media giornaliera 0,9 (27/30),
si applica la formula:

e si ottengono i risultati riportati nella tabella

⇒ Se la distribuzione fosse esattamente casuale, nel 40% dei giorni non si dovrebbe avere nessun caso; si dovrebbe avere 1 solo ricovero nel 36,6% e 2 ricoveri nel 16,5% dei giorni.

La rappresentazione grafica:

evidenzia come la distribuzione delle probabilità con µ = 0,9 sia fortemente asimmetrica, con asimmetria destra.

Esercizio 2

E’ stato ipotizzato che gli individui della specie A abbiano una distribuzione poissoniana sul terreno. Dividendo l’area campionata in appezzamenti della stessa dimensione, per superficie unitaria si è ottenuto X = 2,0.
Calcolare la frequenza attesa ( P_i ), per i che va da 0 a 5. in una distribuzione poissoniana.

Soluzione

Il calcolo delle frequenze relative è:

Come mostra il grafico successivo, la forma della distribuzione poissoniana con media uguale a 2 è ancora asimmetrica, seppure in modo molto meno accentuato della distribuzione precedente, che aveva una media inferiore.

L’asimmetria è sempre destra o positiva, fino a quando la distribuzione diviene normale e simmetrica.

Esercizio 3

In letteratura come esempio storico della distribuzione poissoniana, tratta da dati sperimentali, è famoso l’esempio di Ladislaus von Bortkiewicz (1868 – 1931, a volte scritto all’inglese come Bortkiewitch). Prendendo i dati dell’armata prussiana del XIX secolo, per 20 anni ha contato in 10 corpi d’armata il numero di soldati che ogni anno morivano a causa di un calcio di mulo; ha quindi classificato i decessi nei 200 eventi (20 corpi d’armata per 10 anni), ottenendo la tabella sottostante:

Soluzione

Come riportato in essa,
– in 109 casi non si è avuto nessun morto,
– in 65 casi si è avuto 1 morto,
– in 22 casi sono stati contati 2 morti,
– in 3 casi 3 morti
– e in 1 caso 4 morti.
In totale, nei 200

109 + 65 + 22 + 3 + 1 = 200

casi esaminati il numero di morti è stato di 122

109 x 0 + 65 x 1 + 22 x 2 + 3 x 3 + 1 x 4 = 122

Il calcolo della media e della varianza, fornisce i seguenti risultati:

media = µ = 122/200 = 0,6100
varianza = σ² = 0,6079

E’ importante osservare che la varianza di questa distribuzione sperimentale è quasi identica alla sua media, come atteso in una distribuzione poissoniana teorica. E’ una buona indicazione che questi eventi seguono la legge di Poisson; ma la dimostrazione più completa è fornita dal confronto tra la distribuzione attesa e quella osservata.

Applicando la distribuzione di Poisson, si determinano le probabilità teoriche di avere ogni anno per corpo d’armata 0 morti, 1 morto,…, n morti, eseguendo i calcoli sottostanti (approssimati rispetto alle possibilità attuali di calcolo):

Le probabilità stimate sono riferite ad ogni corpo d’armata in un anno.

Si ottengono i relativi eventi attesi rapportandole a 200 casi (20 corpi d’armata per 10 anni).

Il problema reale del confronto con un test tra le frequenze attese e quelle osservate consiste nel capire se le differenze sono di entità trascurabile, puramente imputabili al caso, oppure se sono di entità tale da lasciare presupporre l’intervento di leggi o fattori diversi da quelli ipotizzati nella distribuzione teorica.

Pubblicità