In molti settori, dalle vendite al turismo, è fondamentale prevedere le fluttuazioni periodiche, le cosiddette “stagionalità”. Un metodo efficace per modellare queste variazioni cicliche è l’utilizzo delle funzioni sinusoidali (seno e coseno). Questo articolo spiega come implementare questo approccio con esempi pratici.
Cosa sono le funzioni sinusoidali?
Le funzioni sinusoidali descrivono fenomeni che si ripetono regolarmente nel tempo, come le onde. La loro forma a onda le rende perfette per rappresentare le stagionalità. La formula generale è:
f(t) = A * cos(2π * t / P + φ) + C
Dove:
f(t)è il valore previsto al tempot.Aè l’ampiezza, che determina l’altezza dell’onda (la metà della differenza tra il valore massimo e minimo).tè il tempo (ad esempio, il giorno dell’anno).Pè il periodo, la durata di un ciclo completo (ad esempio, 365 giorni per un ciclo annuale).φè la fase, che sposta l’onda orizzontalmente, determinando dove si verificano i picchi.Cè l’offset verticale, che sposta l’onda verticalmente (il valore medio).
Esempi pratici:
1. Negozio di Gelati (Picco Estivo):
Immaginiamo un negozio di gelati con un picco di vendite in estate (circa giorno 182, metà anno).
1. Periodo (P):
Il periodo è di 365 giorni, poiché il ciclo delle vendite si ripete annualmente.
2. Media Annuale (C – Offset):
Assumiamo che la media annuale delle vendite sia 100 gelati al giorno. Questo valore rappresenta l’offset verticale (C) della nostra funzione sinusoidale. La funzione oscillerà attorno a questo valore. Quindi C = 100.
3. Picco Massimo (M):
Supponiamo che le vendite massime durante il picco estivo siano il doppio della media annuale. Quindi, il picco massimo è 100 * 2 = 200 gelati al giorno.
4. Minimo delle Vendite (m):
Per calcolare il minimo delle vendite, dobbiamo considerare che la media (C) è il punto medio tra il massimo (M) e il minimo (m). Possiamo usare la formula:
C = (M + m) / 2
Risolvendo per m:
m = 2 * C – M
m = 2 * 100 – 200
m = 0
Quindi, il minimo delle vendite è 0 gelati al giorno. Questo ha senso nel contesto di un negozio di gelati; non ci si aspetta vendite negative.
5. Ampiezza (A):
L’ampiezza (A) è la metà della differenza tra il valore massimo (M) e il valore minimo (m):
A = (M – m) / 2
A = (200 – 0) / 2
A = 100
Quindi, l’ampiezza è 100.
6. Fase (φ):
Vogliamo che il picco (il valore massimo) si verifichi intorno al giorno 182. La funzione coseno raggiunge il suo valore massimo (1) quando il suo argomento è 0 (o un multiplo di 2π). Quindi, impostiamo:
2π * t / P + φ = 0
Sostituendo t = 182 e P = 365:
2π * 182 / 365 + φ = 0
Risolvendo per φ:
φ = -2π * 182 / 365
φ ≈ -3.14159 (che è circa -π)
Per semplicità, possiamo usare φ = -π.
7. La Funzione Completa:
Ora possiamo scrivere la funzione completa:
f(t) = A * cos(2π * t / P + φ) + C
f(t) = 100 * cos(2π * t / 365 – π) + 100
Esempio di Calcolo:
Calcoliamo le vendite previste per il giorno 182 (metà anno):
f(182) = 100 * cos(2π * 182 / 365 – π) + 100
f(182) = 100 * cos(π – π) + 100 f(182) = 100 * cos(0) + 100
f(182) = 100 * 1 + 100 f(182) = 200
Come previsto, otteniamo il picco massimo di 200 gelati.
Calcoliamo le vendite previste per il giorno 0 (inizio anno):
f(0) = 100 * cos(2π * 0 / 365 – π) + 100
f(0) = 100 * cos(-π) + 100
f(0) = 100 * (-1) + 100
f(0) = 0
Come previsto, otteniamo il minimo di 0 gelati.
2. Negozio di Abbigliamento con Due Stagioni (Estate e Inverno):
Consideriamo un negozio che vende abbigliamento estivo e invernale, con picchi di vendita a metà e fine anno (rispettivamente per l’abbigliamento estivo e invernale).
1. Periodo (P):
Il periodo è di 182.5 giorni (circa sei mesi), poiché il ciclo completo (da un picco all’altro dello stesso tipo di abbigliamento, ad esempio da un picco estivo al successivo) si ripete due volte in un anno. Questo significa che la funzione completerà un ciclo ogni sei mesi.
2. Media Annuale (C – Offset):
Assumiamo che la media annuale delle vendite sia di 150 capi al giorno. Questo valore rappresenta l’offset verticale (C) della nostra funzione. Quindi C = 150. Questo significa che, in media, il negozio vende 150 capi al giorno, considerando sia l’abbigliamento estivo che quello invernale.
3. Ampiezza (A):
L’ampiezza rappresenta la variazione delle vendite rispetto alla media. Supponiamo che durante i picchi stagionali le vendite superino la media di 60 capi al giorno. Questo significa che:
- Durante il picco estivo, le vendite raggiungono circa 150 + 60 = 210 capi al giorno.
- Durante i periodi di “bassa stagione” (tra estate e inverno e tra inverno e estate), le vendite scendono a circa 150 – 60 = 90 capi al giorno.
Quindi, l’ampiezza (A) è 60.
4. Fase (φ):
Vogliamo che un picco si verifichi all’inizio del ciclo (t = 0), che in questo contesto rappresenta l’inizio dell’anno (e quindi il picco invernale). Dato che il coseno raggiunge il suo massimo quando l’argomento è 0, impostiamo φ = 0. Questo significa che avremo un picco a t=0 e un altro a t=182.5 (metà anno, picco estivo).
5. La Funzione Completa:
Ora possiamo scrivere la funzione completa:
f(t) = A * cos(2π * t / P + φ) + C
f(t) = 60 * cos(2π * t / 182.5 + 0) + 150
f(t) = 60 * cos(2π * t / 182.5) + 150
Esempio di Calcolo:
- Previsione per il 1° gennaio (t = 0 – Picco Invernale):
f(0) = 60 * cos(0) + 150
f(0) = 60 * 1 + 150
f(0) = 210
- Previsione per il 1° luglio (t ≈ 182.5 – Picco Estivo):
f(182.5) = 60 * cos(2π * 182.5 / 182.5) + 150
f(182.5) = 60 * cos(2π) + 150
f(182.5) = 60 * 1 + 150
f(182.5) = 210
- Previsione per il 1° aprile (t ≈ 91.25 – Periodo di transizione):
f(91.25) = 60 * cos(2π * 91.25 / 182.5) + 150
f(91.25) = 60 * cos(π) + 150
f(91.25) = 60 * (-1) + 150
f(91.25) = 90
3. Agenzia di Viaggi (Picchi a Ferragosto e Natale):
Un’agenzia di viaggi ha picchi di prenotazioni intorno a Ferragosto (giorno 227) e Natale (giorno 359). Questo è un caso più complesso, perché abbiamo due picchi distinti non equidistanti.
- Periodo (P): 365 giorni.
In questo caso, una singola sinusoide potrebbe non essere sufficiente. Un approccio migliore potrebbe essere la somma di due sinusoidi, una per Ferragosto e una per Natale, oppure l’uso di tecniche di regressione non lineare per ottimizzare i parametri di una sinusoide che approssimi entrambi i picchi.
Per semplificare e mostrare un esempio con una sola sinusoide, ci concentriamo sul picco di Ferragosto:
- Fase (φ):
2π * 227 / 365 + φ = 0
φ ≈ -3.91 (circa -1.25π)
La funzione approssimata (che cattura solo il picco di Ferragosto) sarà:
f(t) = A * cos(2π * t / 365 - 1.25π) + C
Dove A e C andrebbero stimati in base ai dati reali. Per modellare entrambi i picchi in modo accurato, come detto, si ricorrerebbe a tecniche più avanzate.
Come usare le previsioni:
Una volta ottenuta la funzione, per prevedere il valore in un giorno specifico, basta sostituire t con il numero del giorno e calcolare f(t). Questo valore può essere poi utilizzato, ad esempio, come parametro λ in una distribuzione di Poisson per calcolare le probabilità di diversi livelli di vendita.
Vantaggi:
- Modello continuo e flessibile.
- Adatto a diverse tipologie di stagionalità.
Limitazioni:
- Difficoltà nel modellare stagionalità complesse con picchi multipli non equidistanti con una singola sinusoide. In questi casi, tecniche più avanzate come la somma di sinusoidi o la regressione non lineare sono più appropriate.
- Il modello assume che la stagionalità si ripeta in modo costante, senza variazioni di ampiezza o forma nel tempo.
Conclusione:
L’uso delle funzioni sinusoidali è un metodo potente per modellare le stagionalità. Con una corretta stima dei parametri, è possibile ottenere previsioni accurate e utili per la pianificazione e la gestione in diversi settori. Per stagionalità più complesse, è necessario ricorrere a tecniche più avanzate.
