Quando gestiamo un portafoglio fornitori, l’istinto ci dice che la spesa non si divide mai in modo equo.
C’è sempre quel pugno di partner storici e strategici che assorbe gran parte del budget, mentre una lunga coda di fornitori minori si accontenta di volumi marginali. È una dinamica che chiunque lavori negli acquisti conosce bene.
Ma c’è un modo per misurare matematicamente questo squilibrio, prevederlo e usarlo a nostro vantaggio in fase di negoziazione?
La risposta si trova in una formula nata originariamente per studiare le parole nei testi letterari: la Legge di Zipf. In questo articolo, attraverso sei scenari pratici e progressivi, vedremo come trasformare questa regola empirica in un potente strumento per valutare i fornitori, calcolare i rischi di concentrazione e prendere decisioni d’acquisto più consapevoli.
Pubblicità
Il Calcolo del Rango (Come si fa)
Da un punto di vista matematico, il rango [math]r[/math] non è altro che la posizione ordinale di un elemento all’interno di un insieme ordinato.
Ecco i passaggi pratici per calcolarlo:
Raccolta della metrica chiave: Scegli la variabile di interesse (es. spesa annuale, numero di ordini, fatturato generato).
Ordinamento (Sorting): Metti in ordine i dati. Nel contesto della concentrazione della spesa o della Legge di Zipf, l’ordinamento è strettamente decrescente (dal valore più grande al più piccolo).
Assegnazione dell’indice: Assegna il numero intero [math]1[/math] al valore più alto (Rango 1), il [math]2[/math] al secondo, e così via ([math]r = 1, 2, 3, \dots, n[/math]).
Gestione dei “Pari Merito” (Ties): Se due fornitori hanno esattamente la stessa spesa, come si fa? Esistono vari metodi statistici, ma il più comune in ambito aziendale è il Rango Medio. Se il 3° e il 4° fornitore in lista hanno entrambi una spesa di 100.000 €, a entrambi viene assegnato il rango di [math]3,5[/math] (la media tra [math]3[/math] e [math]4[/math]), e il fornitore successivo prenderà il rango [math]5[/math].
Il Significato Applicativo
Perché un manager non guarda semplicemente il valore in Euro, ma si preoccupa di tradurlo in “Rango”? Il passaggio dal valore assoluto alla posizione ordinale offre 4 grandi vantaggi strategici:
Relatività del Contesto (Neutralizza i volumi): Dire “spendo 50.000 € con questo fornitore” significa poco. In una multinazionale sono spiccioli, in una PMI è un budget enorme. Ma dire “questo è il nostro fornitore di Rango 2” ha un significato universale: ti dice immediatamente che è uno dei partner più critici dell’azienda, indipendentemente dal fatto che l’azienda fatturi mille o un miliardo di euro.
Allocazione del Tempo e delle Risorse (La regola dell’attenzione):
Il tempo di un compratore è limitato. Il rango detta l’agenda.
Ranghi 1-5: Richiedono partnership, contratti quadro, incontri trimestrali e negoziazioni serrate.
Ranghi 50-100 (La Coda Lunga): Richiedono automazione. Non si negozia al centesimo con il fornitore di Rango 80; si usano cataloghi elettronici, carte di credito aziendali o processi d’ordine automatizzati.
Misurazione del Rischio (Supply Chain Disruption):
Il rango identifica la tua vulnerabilità. Se il fornitore di Rango 1 subisce un blocco produttivo o un cyberattacco, la tua azienda rischia di fermarsi il giorno stesso. Il rango ti obbliga a chiederti: “Ho un piano B per i miei fornitori di Rango 1, 2 e 3?”
È il motore dei modelli predittivi (come Zipf):
Conoscere il rango ti permette di costruire una curva teorica per dire: “In base al comportamento del mercato, il fornitore in terza posizione non dovrebbe costarci più del 15% del budget totale. Se ci costa il 25%, stiamo pagando troppo o siamo troppo dipendenti da lui”.
In sintesi, calcolare il rango significa trasformare una semplice fattura in un indicatore di priorità strategica.
Esercizio 1 – Primo contatto con la regola empirica
(Facile)
Testo
L’azienda “MetalTech” acquista componenti da 5 fornitori. La spesa annuale (in migliaia di €) è:
Fornitore A: 500
Fornitore B: 250
Fornitore C: 125
Fornitore D: 62,5
Fornitore E: 31,25
Ordina i fornitori per spesa decrescente (rango 1 = spesa maggiore).
Calcola la frequenza relativa (percentuale sul totale) per ciascun fornitore.
Verifica se i dati approssimano la legge di Zipf con esponente 1, cioè se [math]\text{frequenza}(\text{ran } r) \approx k / r[/math] per qualche costante [math]k[/math].
Suggerimento: confronta il prodotto [math]\text{frequenza} \times \text{rango}[/math] tra i diversi ranghi.
Risoluzione
Passo 1 – Ordinamento
I fornitori sono già in ordine decrescente:
Rango 1: A (500)
Rango 2: B (250)
Rango 3: C (125)
Rango 4: D (62,5)
Rango 5: E (31,25)
Passo 3 – Verifica della legge di Zipf
La legge di Zipf (con esponente 1) afferma: [math]f_r = k / r[/math] oppure [math]f_r \times r = k[/math] (costante).
Calcoliamo [math]f_r \times r[/math]:
[math]r=1: 0,5161 \times 1 = 0,5161[/math]
[math]r=2: 0,2581 \times 2 = 0,5162[/math]
[math]r=3: 0,1290 \times 3 = 0,3870[/math] → qui il prodotto cala (0,387 ≠ 0,516)
[math]r=4: 0,0645 \times 4 = 0,2580[/math]
[math]r=5: 0,0323 \times 5 = 0,1615[/math]
Si nota che i primi due fornitori rispettano bene la costanza, ma dal terzo in poi i valori si discostano. La legge di Zipf è approssimata solo per i ranghi più alti (fornitori principali).
In realtà questi dati seguono una progressione geometrica (ogni spesa è metà della precedente), che è più ripida della Zipf ideale.
(Il test rapido)
Dimostra che la realtà aziendale (progressione geometrica) a volte è ancora più concentrata della Zipf ideale. Utilità: Fornisce al manager un test mentale veloce ([math]f_r \times r[/math]) per fare un check immediato sulla salute della distribuzione della spesa senza aprire Excel.
💡 Osservazione
La legge di Zipf pura [math]f_r = k / r[/math] produce una coda più “lunga” (valori meno piccoli) rispetto a una progressione geometrica. Per verificare l’aderenza si usa spesso il grafico log‑log (nei prossimi esercizi).
Domanda di riflessione
Quale proprietà hai usato per verificare rapidamente la legge di Zipf senza dover calcolare la costante [math]k[/math] esplicitamente?
Esercizio 2 – Grafico log‑log e stima dell’esponente
(Medio)
Testo
Una piccola azienda alimentare registra i seguenti acquisti annui (in k€) dai suoi 8 fornitori di imballaggi:
(1° : 120), (2° : 75), (3° : 52), (4° : 38), (5° : 29), (6° : 23), (7° : 19), (8° : 16).
Si sospetta che la distribuzione segua una legge di Zipf generalizzata: [math]S(r) = C / r^s[/math], dove [math]S(r)[/math] è la spesa del fornitore di rango [math]r[/math].
Calcola il logaritmo naturale (o decimale) del rango e della spesa.
Costruisci il diagramma a dispersione in scala log‑log e, con una retta di regressione, stima il valore dell’esponente [math]s[/math].
Commenta il grado di concentrazione (se [math]s>1[/math] la concentrazione è maggiore rispetto al caso [math]s=1[/math]).
Risoluzione
Passo 1 – Trasformazione logaritmica
Usiamo il logaritmo naturale ([math]\ln[/math]).
rango [math]r[/math]
spesa [math]S(r)[/math]
[math]\ln(r)[/math]
[math]\ln(S)[/math]
1
120
0,000
4,787
2
75
0,693
4,317
3
52
1,099
3,951
4
38
1,386
3,638
5
29
1,609
3,367
6
23
1,792
3,135
7
19
1,946
2,944
8
16
2,079
2,773
Passo 2 – Regressione lineare su [math]\ln(r)[/math] vs [math]\ln(S)[/math]
La legge di Zipf si scrive:
[math]\ln(S) = \ln(C) – s \cdot \ln(r)[/math]
Quindi pendenza negativa = [math]-s[/math].
Calcoliamo le medie:
Formule per la pendenza [math]b[/math] (dove [math]b = -s[/math]):
[math]b = \frac{\sum[(\ln(r_i)-\text{media\_lnr}) \cdot (\ln(S_i)-\text{media\_lnS})]}{\sum[(\ln(r_i)-\text{media\_lnr})^2]}[/math]
Calcoli (valori approssimati):
[math]\ln(r)-\text{media}[/math]
[math]\ln(S)-\text{media}[/math]
prodotto
quadrato ([math]\ln(r)-\text{media}[/math])
-1,2005
1,173
-1,408
1,441
-0,5075
0,703
-0,357
0,258
-0,1015
0,337
-0,034
0,0103
0,1855
0,024
0,0045
0,0344
0,4085
-0,247
-0,101
0,1669
0,5915
-0,479
-0,283
0,350
0,7455
-0,670
-0,500
0,556
0,8785
-0,841
-0,739
0,772
Somma dei prodotti = [math]-0,357 – 0,034 + 0,0045 – 0,101 – 0,283 – 0,500 – 0,739 – 1,408 \approx -3,418[/math]
Somma dei quadrati = [math]1,441+0,258+0,0103+0,0344+0,1669+0,350+0,556+0,772 = 3,5886[/math]
Passo 3 – Interpretazione
L’esponente [math]s \approx 0,95[/math] è molto vicino a 1. La concentrazione è simile a quella della legge di Zipf classica. Un valore [math]s>1[/math] avrebbe indicato ancora più peso sui primi fornitori (curva più ripida); un valore [math]s<1[/math] una coda più lunga (fornitori secondari più importanti).
Siccome [math]s<1[/math], la coda è leggermente più pesante rispetto alla Zipf ideale (ma la differenza è piccola).
(Il DNA aziendale)
Usa la scala log-log per linearizzare i dati. Utilità: L’esponente [math]s[/math] diventa la “firma” della politica acquisti di quell’azienda. Monitorare [math]s[/math] negli anni permette di capire se l’azienda sta concentrando o frammentando la spesa.
💡 Osservazione
Il grafico log‑log trasforma una legge di potenza in una retta. La bontà dell’adattamento si valuta con il coefficiente di correlazione lineare (qui non calcolato, ma i punti sono abbastanza allineati).
Domanda di riflessione
Cosa succederebbe alla pendenza della retta nel grafico log‑log se l’esponente [math]s[/math] fosse minore di 0? È possibile un valore negativo?
Esercizio 3 – Previsione di spesa per un nuovo fornitore
(Medio-difficile)
Testo
L’ufficio acquisti di “LogisticaNord” ha analizzato i suoi 12 fornitori di trasporto merci. La distribuzione delle spese segue una legge di Zipf con esponente [math]s = 1,2[/math] e costante [math]C = 350[/math] (dove la spesa del fornitore di rango [math]r[/math] è [math]S(r) = 350 / r^{1,2}[/math]).
Viene contattato un nuovo potenziale fornitore; secondo le sue capacità si collocherebbe al rango 9 se entrasse a far parte del portafoglio.
Calcola la spesa prevista per questo nuovo fornitore usando la legge di Zipf.
Sapendo che il fornitore chiede un contratto da 45 k€ annui, è superiore o inferiore alla previsione?
L’azienda ha una politica: accetta nuovi fornitori solo se la loro offerta è almeno del 20% inferiore alla spesa prevista per quel rango (perché altrimenti converrebbe rafforzare i rapporti con quelli esistenti). Il nuovo fornitore viene accettato?
Passo 2 – Confronto con l’offerta
Offerta = 45 k€ → 45 > 25,06, quindi è superiore alla previsione.
Passo 3 – Regola di accettazione
La regola dice: offerta ≤ prevista × 0,8 (almeno 20% inferiore).
prevista × 0,8 = 25,06 × 0,8 = 20,05 k€.
Offerta 45 >> 20,05 → non accettato.
L’azienda ritiene che pagare 45 k€ per un fornitore che, secondo la struttura di Zipf, dovrebbe valere solo 25 k€ sia economicamente svantaggioso.
(Il benchmark negoziale)
Trasforma un modello descrittivo in uno strumento predittivo. Utilità: È un’arma formidabile in negoziazione. Se un nuovo fornitore chiede 45 k€ ma la struttura matematica dell’anagrafica fornitori dice che il suo “spazio” vale 25 k€, il buyer ha un dato oggettivo per rifiutare o rinegoziare.
💡 Osservazione
La legge di Zipf permette di “prezzare” un nuovo fornitore in base alla sua posizione relativa. Si tratta di un’euristica utile quando non si hanno dati storici, ma va usata con cautela perché la realtà potrebbe discostarsi dal modello.
Domanda di riflessione
Se l’esponente [math]s[/math] fosse più grande (es. 1,5), la spesa prevista per lo stesso rango 9 aumenterebbe o diminuirebbe? Perché?
Esercizio 4 – Indice di concentrazione (Herfindahl) e confronto con equiripartizione
(Difficile)
Testo
Un’azienda ha 20 fornitori di materie plastiche. Le quote di spesa (in %) seguono esattamente una legge di Zipf con esponente [math]s = 1[/math].
Le quote sono [math]q_r = \frac{1/r}{H_{20}}[/math] dove [math]H_{20} = \sum_{r=1}^{20} \frac{1}{r}[/math] (numero armonico).
Calcola l’indice di Herfindahl [math]\text{HHI} = \sum q_r^2[/math] per questa distribuzione.
Confrontalo con l’HHI di una distribuzione perfettamente equa (tutti i fornitori con uguale quota = 5%).
Commenta il livello di concentrazione: la legge di Zipf con [math]s=1[/math] produce più o meno concentrazione rispetto al caso equo? E rispetto al caso di un solo fornitore (monopolio)?
Risoluzione
Passo 1 – Calcolo delle quote [math]q_r[/math] per Zipf ([math]s=1[/math])
[math]q_r = \frac{1/r}{H_{20}}[/math]
[math]H_{20} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{20}[/math]
Valori noti: [math]H_{20} \approx 3,59774[/math] (si può calcolare con calcolatrice o somma approssimata).
Per ogni [math]r[/math], [math]q_r = \frac{1}{r \cdot 3,59774}[/math].
Passo 2 – [math]\text{HHI} = \sum q_r^2[/math]
[math]\text{HHI} = \sum \frac{1}{r^2 \cdot H_{20}^2} = \frac{1}{H_{20}^2} \cdot \sum_{r=1}^{20} \frac{1}{r^2}[/math].
La somma [math]\sum_{r=1}^{20} \frac{1}{r^2}[/math] è la serie di [math]\zeta(2)[/math] troncata:
Passo 4 – Confronto
[math]\text{HHI}_{\text{Zipf}} = 0,1233 > 0,05[/math] → la distribuzione di Zipf è più concentrata dell’equiripartizione.
In monopolio (1 fornitore al 100%) [math]\text{HHI} = 1[/math]. Quindi 0,1233 indica una concentrazione medio‑bassa (tipica di mercati con molti operatori ma con qualche leader).
(Dal modello al rischio)
Collega la Legge di Zipf a un indicatore economico standard (l’Indice di Herfindahl-Hirschman). Utilità: Traduce una formula matematica astratta in un KPI di rischio (0,123) che può essere inserito direttamente nei report per la direzione o per gli audit di compliance.
💡 Osservazione
L’indice di Herfindahl varia tra 0 e 1. Valori < 0,01 indicano concorrenza perfetta, > 0,25 concentrazione elevata. Qui 0,123 mostra una moderata concentrazione, coerente con pochi fornitori importanti e tanti piccoli.
Domanda di riflessione
Come cambierebbe HHI se l’esponente [math]s[/math] aumentasse a 1,5? E se [math]s[/math] si avvicinasse a 0?
Esercizio 5 – Strategia di “de‑Zipfizzazione” per ridurre il rischio
(Più difficile)
Testo
L’azienda “EnergySupply” ha 6 fornitori di batterie. Attualmente le spese (in M€) seguono esattamente la legge di Zipf con [math]s=1[/math] e costante [math]C=12[/math] (cioè [math]\text{spesa}_r = 12/r[/math]).
Il responsabile acquisti vuole ridurre la dipendenza dai primi due fornitori. Propone di trasferire gradualmente una parte degli acquisti dal fornitore 1 e 2 verso i fornitori 3‑6, mantenendo però lo stesso budget totale. L’obiettivo è ottenere una nuova distribuzione in cui la spesa di ogni fornitore sia proporzionale a [math]1/r^{0,7}[/math] (esponente più basso, coda più pesante).
Calcola la spesa attuale per ogni fornitore e il budget totale.
Determina i coefficienti [math]c_r[/math] per la nuova distribuzione [math]S’_r = K / r^{0,7}[/math] in modo che il totale sia lo stesso.
Calcola di quanto si riduce la quota del primo fornitore e di quanto aumentano le quote dei fornitori 3‑6.
Discuti il trade‑off: la nuova distribuzione ha un indice di Herfindahl minore (minor rischio di concentrazione), ma potrebbe comportare costi di gestione maggiori (più fornitori da coordinare). Quale aspetto è più importante secondo te?
Passo 4 – Trade‑off
La concentrazione si riduce (il primo fornitore perde quasi 10 punti percentuali, i più piccoli guadagnano). L’indice HHI passa da ≈0,256 (calcolabile: [math]0,408^2+0,204^2+0,136^2+0,102^2+0,082^2+0,068^2 \approx 0,166+0,042+0,0185+0,0104+0,0067+0,0046=0,248[/math]) a ≈0,191 ([math]0,326^2+0,201^2+0,151^2+0,124^2+0,106^2+0,093^2 \approx 0,106+0,040+0,023+0,015+0,011+0,009=0,204[/math] – calcolo più preciso darebbe ~0,204).
Minor rischio di interruzione dal fornitore principale, ma gestire 6 fornitori richiede più attività amministrative, controllo qualità, negoziazioni. La scelta dipende dalla propensione al rischio dell’azienda.
(L’ingegneria del portafoglio)
Inverte il problema (fissa un nuovo esponente per trovare il budget). Utilità: È pura strategia. Mostra al Procurement Manager come simulare matematicamente una politica di mitigazione del rischio, calcolando in anticipo quanti soldi andranno spostati da un fornitore all’altro.
💡 Osservazione
Abbassare l’esponente [math]s[/math] rende la distribuzione più “piatta” (effetto simile a una tassazione progressiva). In pratica, però, non sempre è possibile ridistribuire gli acquisti senza perdere economie di scala.
Domanda di riflessione
Perché nell’esempio il secondo fornitore quasi non modifica la sua quota nonostante l’abbassamento di [math]s[/math]?
Esercizio 6 – Stabilità temporale della legge di Zipf e test di Kolmogorov‑Smirnov
(Molto difficile – adatto a studenti universitari o per approfondimento)
Testo
Un’azienda farmaceutica registra le spese mensili per 15 fornitori di principi attivi in due anni consecutivi: Anno1 e Anno2. Per ciascun anno, i fornitori sono stati ordinati per spesa decrescente e le quote cumulate sono state calcolate. Si sospetta che la legge di Zipf valga in entrambi gli anni, ma con possibile cambiamento dell’esponente a causa di fusioni tra fornitori.
I dati delle quote cumulate (fino al rango [math]r[/math]) sono:
rango [math]r[/math]
Anno1 [math]F(r)[/math]
Anno2 [math]F(r)[/math]
1
0,42
0,52
2
0,60
0,68
3
0,72
0,78
4
0,81
0,85
5
0,87
0,90
6
0,92
0,93
7
0,95
0,95
8
0,97
0,97
9
0,98
0,98
10
0,99
0,99
11
0,99
0,99
12
1,00
1,00
(Per [math]r>12[/math] la cumulata arriva a 1.)
Per ciascun anno, calcola la differenza massima in valore assoluto tra la cumulata osservata e la cumulata teorica di una legge di Zipf con esponente [math]s=1[/math] (cioè [math]F_{\text{teo}}(r) = \frac{\sum_{i=1}^r 1/i}{H_{15}}[/math]).
Utilizza il test di Kolmogorov‑Smirnov a un campione per verificare se l’Anno1 può essere descritto da una Zipf con [math]s=1[/math] ([math]\alpha=0,05[/math]). Il valore critico per [math]n=15[/math] è circa 0,338.
Confronta visivamente le due distribuzioni: quale anno si discosta di più dal modello?
Discuti brevemente come il cambiamento della quota del primo fornitore (da 0,42 a 0,52) possa indicare un aumento dell’esponente [math]s[/math].
La differenza massima per Anno1 è [math]0,182[/math] (per [math]r=4,5,6[/math]). Per Anno2 è [math]0,228[/math] ([math]r=2[/math]).
Passo 3 – Test di Kolmogorov‑Smirnov per Anno1
Statistica [math]D = 0,182[/math]. Valore critico per [math]\alpha=0,05[/math] e [math]n=15[/math] è [math]0,338[/math]. Poiché [math]0,182 < 0,338[/math], non rifiutiamo l’ipotesi che i dati dell’Anno1 seguano una Zipf con [math]s=1[/math].
Per Anno2, [math]D=0,228 < 0,338[/math], quindi anche Anno2 non si discosta significativamente dal modello (pur con un [math]D[/math] maggiore). Tuttavia, la soglia è abbastanza ampia; con [math]n[/math] più grande si potrebbero rilevare differenze.
Passo 4 – Confronto e interpretazione
Anno2 ha una cumulata iniziale più alta (primo fornitore 0,52 vs 0,42), il che indica una maggior concentrazione. Una maggior concentrazione è tipica di un esponente [math]s[/math] più alto (curva più ripida). Infatti, se stimassimo [math]s[/math] per Anno2 otterremmo un valore >1, mentre Anno1 è vicino a 1.
(L’auditing temporale)
Introduce la statistica inferenziale (Test K-S). Utilità: Serve per l’auditing strategico. Se c’è stata una fusione tra fornitori o un cambio di management, questo test certifica se la struttura del mercato d’acquisto è strutturalmente mutata o se le variazioni sono solo fluttuazioni casuali.
💡 Osservazione
Il test di Kolmogorov‑Smirnov è poco potente con campioni piccoli; spesso si preferisce stimare l’esponente e confrontare gli intervalli di confidenza. Tuttavia, è utile per avere un’indicazione formale.
Domanda di riflessione
Perché nei test di bontà di adattamento come K‑S si confrontano le cumulate e non le frequenze semplici?
Risposte dettagliate alle domande di riflessione
Esercizio 1
Quale proprietà hai usato per verificare rapidamente la legge di Zipf senza dover calcolare la costante k esplicitamente?
Risposta:
La proprietà è che per una legge di Zipf pura [math]f_r = k / r[/math], il prodotto [math]f_r \times r[/math] è costante al variare di [math]r[/math]. Basta quindi moltiplicare la frequenza relativa per il rango e controllare se i prodotti sono tutti uguali (entro un intervallo di tolleranza). Questo evita di calcolare prima la costante [math]k[/math] (che sarebbe la media di quei prodotti). È un test veloce, ma sensibile agli errori di misura e valido solo per l’esponente 1.
Esercizio 2
Cosa succederebbe alla pendenza della retta nel grafico log‑log se l’esponente [math]s[/math] fosse minore di 0? È possibile un valore negativo?
Risposta:
Se [math]s < 0[/math], allora la legge [math]S(r) = C / r^s[/math] diventerebbe [math]S(r) = C \cdot r^{|s|}[/math] (crescente con [math]r[/math]), cioè i fornitori di rango più alto (meno importanti) avrebbero spesa maggiore – assurdo nella realtà perché i ranghi sono ordinati in modo decrescente. Nel grafico [math]\ln(S)[/math] vs [math]\ln(r)[/math] la pendenza sarebbe [math]-s > 0[/math], quindi retta crescente. In contesti di fornitori un esponente negativo non ha senso, perché viola l’ordinamento. Dunque [math]s[/math] è sempre positivo.
Esercizio 3
Se l’esponente [math]s[/math] fosse più grande (es. 1,5), la spesa prevista per lo stesso rango 9 aumenterebbe o diminuirebbe? Perché?
Risposta:
Diminuirebbe. Perché [math]S(r) = C / r^s[/math]: all’aumentare di [math]s[/math], il denominatore [math]r^s[/math] cresce più velocemente (per [math]r>1[/math]), riducendo la spesa. Un esponente maggiore implica una concentrazione più forte sui primissimi ranghi, quindi i fornitori secondari diventano ancora più piccoli. Esempio numerico: [math]r=9[/math], [math]s=1,2 \rightarrow 9^{1,2} \approx 13,97[/math]; [math]s=1,5 \rightarrow 9^{1,5} = 9 \cdot \sqrt{9} = 9 \cdot 3 = 27[/math]. A parità di [math]C[/math], la spesa si dimezza circa.
Esercizio 4
Come cambierebbe HHI se l’esponente [math]s[/math] aumentasse a 1,5? E se [math]s[/math] si avvicinasse a 0?
Risposta:
Aumentando [math]s[/math] (es. da 1 a 1,5), la distribuzione diventa più concentrata: i primi fornitori pesano di più, i secondari molto meno. L’indice HHI (somma dei quadrati delle quote) aumenta, tendendo a 1 per [math]s \to \infty[/math] (monopolio).
Se [math]s \to 0[/math], la legge diventa [math]S(r) \approx \text{costante}[/math] (tutti i fornitori hanno spesa simile). Le quote tendono a [math]1/n[/math] (equiripartizione) e HHI [math]\to 1/n[/math] (che per [math]n=20[/math] vale 0,05). Quindi HHI diminuisce al ridursi di [math]s[/math].
Esercizio 5
Perché nell’esempio il secondo fornitore quasi non modifica la sua quota nonostante l’abbassamento di [math]s[/math]?
Risposta:
Perché la transizione da [math]s=1[/math] a [math]s=0,7[/math] “preleva” quota soprattutto dal primo fornitore e la redistribuisce verso i fornitori con rango [math]\ge 3[/math]. Il secondo fornitore si trova in una posizione intermedia: la riduzione relativa della sua spesa è compensata dall’aumento del denominatore della costante [math]K[/math] (che cresce perché la somma degli [math]1/r^{0,7}[/math] è maggiore della somma degli [math]1/r[/math]). L’effetto netto sulla sua quota è quasi nullo. Questo mostra che la redistribuzione non è lineare e dipende dalla forma della curva.
Esercizio 6
Perché nei test di bontà di adattamento come K‑S si confrontano le cumulate e non le frequenze semplici?
Risposta:
Le cumulate sono più stabili e meno sensibili al rumore casuale. Inoltre, il test Kolmogorov‑Smirnov si basa sulla massima distanza tra le funzioni di ripartizione (cumulate), che ha una distribuzione nota sotto l’ipotesi nulla, indipendentemente dalla distribuzione teorica (non parametrica). Confrontare le frequenze semplici richiederebbe invece un test del chi‑quadrato, che ha il problema delle classi con poche osservazioni. Le cumulate permettono anche di apprezzare visivamente gli scostamenti sistematici (es. se la cumulata osservata è sempre sopra quella teorica, segno che i dati sono più concentrati).
