LA VARIABILE RIDOTTA O STANDARDIZZATA
Si definisce variabile ridotta o standardizzata o scarto standardizzato
la variabile:
che ha la caratteristica
di essere adimensionale,
di avere valore atteso nullo:
e varianza unitaria:
Per esempio
Nel caso di una v.a. X con distribuzione uniforme fra a e b è:
La distribuzione normale standardizzata
- La distribuzione normale è difficilmente trattabile dal punto di vista calcolatorio, a causa dei suoi due parametri, µ e σ2.
- Il ricorso alla “distribuzione normale standardizzata” permette invece di individuare facilmente le probabilità relative agli intervalli di valori, utilizzando opportune tavole statistiche.
La distribuzione normale standardizzata (detta “Z”) si ottiene mediante una trasformazione della variabile X, di questo tipo (“punteggi z”):
La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata, f (z), assume la forma: 
La funzione di densità di probabilità della distribuzione normale standardizzata, f (z), assume la forma:
Osservazione:
questa funzione non contiene più i parametri.
La v.a. normale standardizzata ha ,dunque, MEDIA= 0 e DEVIAZIONE STANDARD= 1, per cui è rappresentata da UNA SOLA CURVA, mentre la distribuzione normale generale è rappresentata da infinite curve, che variano a seconda dei valori di µ e σ.
Aree sottese dalla curva normale generale
La probabilità che un valore estratto casualmente da una v.a. N(μ,σ2) sia compreso nell’intervallo (μ- σ, μ+σ) è pari al 68%;
Il 95% dei valori assunti da una distribuzione Normale cadono nell’intervallo (μ-1,96σ, μ+1,96σ);
Il 99%, invece, nell’intervallo (μ–2,58σ, μ+2,58σ)
Aree sottese dalla curva normale standardizzata
È noto che il 68,26% dell’area totale è compreso tra ±1 deviazioni standard attorno alla media, cioè a ±1 punti z dalla media; mentre il 95,44% è racchiuso tra ±2 deviazioni standard attorno alla media: quindi a ±2 punti z dalla media.
In virtù della proprietà di simmetria della distribuzione normale, le tavole riportano soltanto i valori dell’area compresa fra lo zero e l’ascissa +X, poiché, per la simmetria, l’area sottesa dall’altra metà della curva è ovviamente uguale.
Osservando la tavola, si troveranno i punti z nella colonna di sinistra con una cifra decimale; la seconda cifra decimale è posta nella prima riga in alto della stessa tavola.
In termini pratici …
Supponiamo di voler conoscere l’area compresa tra le ascisse pari, rispettivamente, a z=0 e z=1,96.
Osservando la colonna dei punti z, si deve scendere fino a trovare z=1,9, e poi rimanere nella stessa riga fino a trovarsi in quella indicata con 6.
Il punteggio che si trova in quel punto indica la porzione di area compresa tra i due valori di z: 0,4750.
Poiché l’area totale sottesa dalla curva nella sua parte positiva è pari a 0,500, l’area che si trova alla destra del valore z =1,96 sarà data da:
0,5000-0,4750=0,0250
