Strategie di Localizzazione: Esercizi sul Modello di Hotelling

Esercizio 1. Localizzazione ottimale di due imprese su una linea

Domanda:

Due imprese A e B competono su una strada lunga 1 km con consumatori distribuiti uniformemente. I consumatori scelgono l’impresa più vicina. Dove si localizzeranno le imprese per massimizzare la propria quota di mercato?

Soluzione:

Entrambe le imprese si posizioneranno al centro (0.5 km) per massimizzare la propria quota di mercato. Vediamo una spiegazione passo per passo, evidenziando le dinamiche competitive che portano a questo risultato:

Scenario:

• Una strada lunga 1 km (L = 1).
• Consumatori distribuiti uniformemente lungo la strada. Questo significa che ogni segmento di strada di uguale lunghezza contiene lo stesso numero di consumatori.
• Due imprese, A e B, che vendono un prodotto identico.
• I consumatori scelgono l’impresa più vicina (minimizzano i costi di trasporto).

Analisi per Passi:

1. Posizioni Estreme (Caso Iniziale): Immaginiamo che inizialmente l’impresa A si posizioni all’inizio della strada (0 km) e l’impresa B alla fine (1 km). In questo caso, l’impresa A serve tutti i consumatori tra 0 e 0.5 km, mentre l’impresa B serve quelli tra 0.5 e 1 km. Entrambe le imprese detengono il 50% del mercato.

2. Incentivo a Spostarsi verso il Centro: L’impresa A nota che spostandosi leggermente verso destra (ad esempio, a 0.1 km), può “rubare” una piccola porzione di clienti all’impresa B, quelli che si trovano tra 0.5 km e circa 0.6 km. Analogamente, l’impresa B ha l’incentivo a spostarsi leggermente verso sinistra (ad esempio, a 0.9 km) per attrarre clienti che si trovano tra 0.4 km e 0.5 km.

3. La “Corsa al Centro”: Questo processo di “furto di clienti” continua. Entrambe le imprese cercano di avvicinarsi sempre di più al centro della strada per massimizzare la propria quota di mercato. Ogni volta che un’impresa si sposta verso il centro, sottrae clienti all’altra.

4. Convergenza al Centro: Questo processo di spostamento continua fino a quando entrambe le imprese non si posizionano al centro della strada (0.5 km). A questo punto, qualsiasi ulteriore spostamento di una delle due imprese comporterebbe una perdita di clienti a favore dell’altra.

5. Equilibrio al Centro: Quando entrambe le imprese sono al centro, si raggiunge un equilibrio. Nessuna delle due ha un incentivo a spostarsi unilateralmente, dato che qualsiasi movimento peggiorerebbe la sua quota di mercato. Entrambe le imprese condividono il mercato al 50%.

Principio di Minima Differenziazione:

Questo risultato è una manifestazione del principio di minima differenziazione, un concetto chiave nel modello di Hotelling. In un mercato in cui i consumatori preferiscono la vicinanza (minimi costi di trasporto), le imprese tendono a minimizzare la differenziazione tra i loro prodotti o la loro posizione per catturare la maggior quota di mercato possibile.

Punti Importanti da Considerare:

• Semplicità del Modello: Questa è una versione molto semplificata del modello di Hotelling. Assume che i consumatori scelgano esclusivamente in base alla distanza e che il prodotto sia omogeneo.
• Assenza di Equilibrio Stabile nel Modello Base con Competizione sui Prezzi: Nel modello di Hotelling più completo, dove le imprese competono anche sui prezzi, non esiste un equilibrio stabile in localizzazione se si mantengono le assunzioni di base. La “corsa al centro” non si arresta, creando un paradosso. Questo perché, anche se le imprese si trovano nello stesso punto, basta una minima variazione di prezzo per spostare l’equilibrio. Per ottenere un equilibrio stabile, è necessario introdurre modifiche al modello, come costi di trasporto non lineari o differenziazione di prodotto.
• Applicazioni Reali: Nonostante le semplificazioni, il modello di Hotelling fornisce importanti intuizioni su molti fenomeni reali, come la localizzazione di negozi, la competizione tra partiti politici e la differenziazione dei prodotti.

Esercizio 2. Impatto del costo di trasporto sui consumatori

Domanda:

I consumatori pagano un costo di trasporto t proporzionale alla distanza. Se il prezzo del prodotto è p e t=2, quanto devono essere vicine le imprese per mantenere il 50% dei consumatori?

Soluzione:

Analizziamo passo per passo l’impatto del costo di trasporto e come questo influenza la localizzazione delle imprese per mantenere il 50% dei consumatori.

Comprensione del Problema:

• Costo di trasporto: I consumatori sostengono un costo di trasporto t proporzionale alla distanza che devono percorrere per raggiungere l’impresa.
• t = 2: Il costo unitario di trasporto è pari a 2. Questo significa che per ogni unità di distanza percorsa, il consumatore sostiene un costo di 2.
• Prezzo p: Il prezzo del prodotto è p. Questo prezzo è lo stesso per entrambe le imprese (prodotto omogeneo).
• Obiettivo: Determinare quanto vicine devono essere le imprese per dividere equamente il mercato (50% ciascuna).

Analisi Dettagliata:

1. Consumatore Indifferente: Il punto chiave è trovare il consumatore indifferente, ovvero quel consumatore che ottiene la stessa utilità da entrambe le imprese. Questo consumatore si trova nel punto di confine tra le due aree di mercato.

2. Distanze: Sia dA la distanza del consumatore dall’impresa A e dB la distanza del consumatore dall’impresa B.

3. Condizione di Indifferenza: La condizione di indifferenza è data dall’uguaglianza dei costi totali (prezzo + costo di trasporto) per entrambe le imprese:

   p + t * dA = p + t * dB

4. Semplificazione: Poiché il prezzo p è lo stesso per entrambe le imprese, possiamo semplificare l’equazione:

   t * dA = t * dB

   E, dato che t = 2, abbiamo:

   2 * dA = 2 * dB

   Che si semplifica ulteriormente in:

   dA = dB

5. Interpretazione: Questa equazione fondamentale ci dice che il consumatore indifferente si trova esattamente a metà strada tra le due imprese. Questo è logico: se il costo di trasporto è lo stesso per entrambe le direzioni, il consumatore sceglierà l’impresa più vicina, e il punto di divisione tra le due clientele sarà il punto medio tra le due localizzazioni.

6. Posizionamento Simmetrico rispetto al Centro: Per dividere equamente il mercato, le imprese devono posizionarsi simmetricamente rispetto al centro della strada. Se la strada è lunga 1 km, il centro è a 0.5 km.

   • Se l’impresa A si posiziona a x₁, l’impresa B deve posizionarsi a 1 - x₁.
   • Ad esempio, se A si posiziona a 0.25 km, B deve posizionarsi a 0.75 km. Il consumatore indifferente sarà a 0.5 km, dividendo il mercato a metà.

7. Impatto del valore di t: il valore di t, in questo caso 2, non influenza la posizione del consumatore indifferente, ma influenza quanto è forte l’effetto della distanza sulla scelta del consumatore. Un t più alto significa che la distanza pesa di più nella decisione del consumatore. Ma la posizione del consumatore indifferente, che divide il mercato a metà, rimane sempre a metà strada tra le due imprese.

Esempio Numerico:

• Strada lunga 1 km.
• t = 2.
• L’impresa A si posiziona a 0.2 km.
• Per dividere il mercato a metà, l’impresa B deve posizionarsi a 1 – 0.2 = 0.8 km.
• Il consumatore indifferente si troverà a 0.5 km.

Conclusione:

Per mantenere il 50% dei consumatori ciascuna, le imprese devono posizionarsi simmetricamente rispetto al centro della strada. Il valore di t influenza il costo totale per il consumatore, ma non altera il fatto che il punto di divisione del mercato si trovi esattamente a metà strada tra le due imprese. In altre parole, la distanza relativa tra le imprese determina la divisione del mercato, non il valore assoluto del costo di trasporto.

Esercizio 3. Aggiunta di una terza impresa

Domanda:

Supponiamo che una terza impresa C entri nel mercato e si posizioni al centro della strada. Come cambierà la distribuzione dei consumatori?

Soluzione:

E’ importante analizzare  in dettaglio le dinamiche competitive che si innescano con l’ingresso di una terza impresa e le possibili configurazioni di equilibrio.

Analisi Dettagliata con Tre Imprese:

1. Situazione Iniziale (Due Imprese al Centro): Partiamo dalla situazione in cui le imprese A e B sono entrambe localizzate al centro (0.5 km), come risultato del modello di Hotelling con due imprese.

2. Ingresso dell’Impresa C al Centro: L’impresa C entra nel mercato e si posiziona anch’essa al centro (0.5 km). A questo punto, tutte e tre le imprese sono nello stesso punto.

3. Instabilità: Questa configurazione è estremamente instabile. Qualsiasi minima variazione di prezzo da parte di una delle tre imprese può portare a una significativa redistribuzione dei clienti. In pratica, si innescherebbe una forte competizione sui prezzi, simile al paradosso di Bertrand, che porterebbe a profitti molto bassi o nulli.

4. Incentivo alla Differenziazione: Per evitare questa competizione distruttiva, le imprese A e B hanno un forte incentivo a differenziarsi, spostandosi verso i margini della strada. Questo permette loro di crearsi delle “nicchie” di mercato, servendo i consumatori più vicini alla loro nuova posizione.

5. Distribuzione dei Consumatori: Con le imprese A e B spostate verso i margini e l’impresa C al centro, la distribuzione dei consumatori si articola come segue:

   • Impresa A (vicino a 0 km): Serve i consumatori più vicini all’inizio della strada.
   • Impresa B (vicino a 1 km): Serve i consumatori più vicini alla fine della strada.
   • Impresa C (al centro): Serve i consumatori nella parte centrale della strada.

6. Equilibrio con Tre Imprese (Difficoltà): Determinare un equilibrio stabile con tre imprese nel modello di Hotelling è complesso e non esiste una soluzione analitica semplice come nel caso di due imprese. La posizione di equilibrio dipende da diversi fattori, tra cui:

   • Costi di trasporto: Un costo di trasporto elevato incentiva una maggiore dispersione delle imprese.
   • Elasticità della domanda al prezzo: Una maggiore elasticità della domanda rende la competizione sui prezzi più intensa, spingendo le imprese a differenziarsi maggiormente.
   • Strategie delle imprese: Le strategie di prezzo e di marketing delle imprese influenzano la distribuzione dei consumatori.

7. Tendenze Generali: Nonostante la difficoltà di trovare un equilibrio preciso, alcune tendenze generali sono chiare:

   • Maggiore Differenziazione: Con l’ingresso di una terza impresa, la differenziazione spaziale (o di prodotto) aumenta. Le imprese cercano di evitare la competizione diretta, offrendo prodotti o localizzandosi in posizioni che attraggono specifici segmenti di consumatori.
   • Riduzione della Quota di Mercato per le Imprese Preesistenti: Le imprese A e B, che prima dividevano il mercato a metà, vedono la loro quota di mercato ridursi a causa dell’ingresso di C.
   • Potenziale per una Maggiore Efficienza: La presenza di una terza impresa può portare a una maggiore efficienza allocativa, offrendo ai consumatori una maggiore scelta e una migliore copertura del mercato.

Esempio:

Immaginiamo che le imprese si posizionino: A a 0.2, C a 0.5 e B a 0.8.

• I consumatori tra 0 e 0.35 (metà strada tra A e C) andranno da A.
• I consumatori tra 0.35 e 0.65 (metà strada tra C e B) andranno da C.
• I consumatori tra 0.65 e 1 andranno da B.

Conclusione:

L’ingresso di una terza impresa nel modello di Hotelling introduce dinamiche competitive più complesse e porta a una maggiore differenziazione spaziale. La “corsa al centro” osservata con due imprese si attenua, poiché le imprese cercano di crearsi delle nicchie di mercato per evitare una competizione diretta e distruttiva. La distribuzione dei consumatori dipende da una combinazione di fattori, tra cui i costi di trasporto, l’elasticità della domanda e le strategie delle imprese.

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