Metodo di eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione gaussiana consiste nel trasformare il sistema originale in un sistema triangolare superiore (zero sulla parte sottostante la diagonale della matrice) mediante eliminazione di una riga alla volta del sistema.

Le trasformazioni che possiamo utilizzare sono:

– Moltiplicazione di un’equazione per una costante non nulla;
– Addizione del multiplo di un’equazione con un’altra equazione non nulla;
– Scambio di due equazioni

ESEMPIO

Dato il sistema lineare:

Considero la variabile “x₁” della “1a RIGA”:

ELIMINO LA 2a RIGA
“2a RIGA” = “2a RIGA”- (1/2) “1a RIGA”:

ELIMINO LA 3a RIGA
“3a RIGA” = “3a RIGA”- (4/2) “1a RIGA”

ELIMINO LA 4a RIGA
“4a RIGA” = “4a RIGA” – (3/2) “1a RIGA”

NUOVO PASSO
Considero la variabile “x2” della “2a RIGA”

 

ELIMINO LA 3a RIGA
“3a RIGA” = “3a RIGA” – (-3/(-7/2)) “2a RIGA”

ELIMINO LA 4a RIGA
“4a RIGA” = “4a RIGA” – (-(17/2)/(-7/2)) “2a RIGA”

NUOVO PASSO
Considero la variabile “x3” della “3a RIGA”

4a RIGA ELIMINATA
“4a RIGA” = “4a RIGA” – (-(62/7)/(-75/7)) “3a RIGA”

RISOLUZIONE DEL SISTEMA LINEARE

Adesso è possibile risolvere il sistema lineare mediante delle sostituzione all’indietro:
Cioè si risolve per la variabile x₄, poi per la variabile x₃ (nota x₄), poi per la variabile x₂ (nota x₄ e x₃)ed infine per la variabile x₁ (nota x₄, x₃ e x₂).

METODO DI GAUSS MIGLIORAMENTI

● Tutte le operazioni le ho potute fare perché gli elementi sulla diagonale sono diversi da zeri, altrimenti nel calcolo dei coefficienti mi capitava di dividere per zero.
● Se ciò accade posso sempre scambiare righe sottostanti alla riga presa in considerazione; questa operazione di scambio è nota come tecnica di pivoting
● Viene anche eseguita ad ogni passo portando l’elemento massimo sotto la diagonale in posizione diagonale per aumentare la stabilità del metodo.

 

 

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