Risolvere la seguente equazione logaritmica:
xlog25 + 25logx = 10
Soluzione
Ricordiamo che
log x = log10 x
cioè il logaritmo presente nell’equazione è in base 10.
Possiamo risolvere questa equazione attraverso due metodi.
I Metodo
Effettuiamo la seguente sostituzione:
y = log x ⇒ 10y = x (1)
Segue che:
(10y )log25 + 25 y = 10
10 y lo25 + 25 y = 10
Poniamo ora :
z = 25 y
Sostituendo nell’ equazione segue che:
10 logz +z = 10 (2)
Sostituiamo ancora:
t = 10logz
Passando ai logaritmi, segue che:
log t = log 10 * log z
essendo log10 = 1
dunque
log t = log z ⇒ t = z
Sostituendo nella (2)
⇒ z + z = 10
⇒ z = 5
Ricordando che z = 25 y :
5 = 25y ⇒ y = 1/2
101/2 = x per la (1)
Dunque, la soluzione dell’equazione è
x = √10
II Metodo
Riscriviamo la nostra equazione
xlog25 + 25logx = 10
Effettuando le seguenti sostituzioni:
y = xlog25
e
z = 25 logx
Passando ai logaritmi:
log y = log (xlog25 ) = log25 * log x
log z = log (25logx ) = logx * log25
⇒ y = z
Sostituendo nell’equazione di partenza, avremo:
y + y = 10 ⇒ y = 5
Essendo y =5 = x log25
passando di nuovo ai logaritmi:
log y = log5 = log25 * logx
dove
log25 = 2log5
Ne consegue:
log 5 = 2 log 5 * logx
cioè: logx = 1/2
Dunque, la soluzione dell’equazione è
x = √10
la stessa, ovviamente, ottenuta con il primo metodo!
